Decida se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira. No caso se ser verdadeira, dê uma prova e no caso de ser falsa, dê um contraexemplo com uma matriz 2 times 2.
Para toda matriz n times n A, Lin(A)=Col(A).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, para toda matriz quadrada A de ordem n, vale
Lin(A)=Col(A)
Aqui o conteúdo é espaços de linha (row space) e espaços de coluna (column space). Vamos lembrar as definições e depois verificar se a igualdade ocorre sempre ou não.

Passo 2

Definições:
– O espaço linha de A, denotado Lin(A), é o subespaço de K^n gerado pelas linhas de A.
– O espaço coluna de A, denotado Col(A), é o subespaço de K^n gerado pelas colunas de A.
Sabemos que diml(Lin(A)r)=diml(Col(A)r)=rank(A), mas isso não garante que as duas subespaços sejam iguais como conjuntos.

Passo 3

Contraexemplo em 2times 2:
A = 1 & 2 [6pt] 0 & 0
As linhas de A são (1,2) e (0,0), logo
Lin(A)=span(1,2)
As colunas de A são l(1,0r)^T e l(2,0r)^T, mas ambas são múltiplos de (1,0)^T, então
Col(A)=span(1,0)
Como span(1,2)neq span(1,0), vemos que Lin(A)neqCol(A).]

Resposta

A afirmação é falsa. Contraexemplo:
A = 1 & 20 & 0,
pois Lin(A)=span(1,2) e Col(A)=span(1,0), que são espaços diferentes.

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