Decida se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira. No caso se ser verdadeira, dê uma prova e no caso de ser falsa, dê um contraexemplo com uma matriz
.
Para toda matriz
.
Para toda matriz
Passo 1
O enunciado pede para decidir se, para toda matriz quadrada
de ordem
, vale
Aqui o conteúdo é espaços de linha (row space) e espaços de coluna (column space). Vamos lembrar as definições e depois verificar se a igualdade ocorre sempre ou não.
Passo 2
Definições:
– O espaço linha de , denotado
, é o subespaço de
gerado pelas linhas de
.
– O espaço coluna de , denotado
, é o subespaço de
gerado pelas colunas de
.
Sabemos que , mas isso não garante que as duas subespaços sejam iguais como conjuntos.
– O espaço linha de
– O espaço coluna de
Sabemos que
Passo 3
Contraexemplo em
:
As linhas de
são
e
, logo
As colunas de
são
e
, mas ambas são múltiplos de
, então
Como
, vemos que
.]
Resposta
A afirmação é falsa. Contraexemplo:
pois
e
, que são espaços diferentes.