Decida se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira. No caso se ser verdadeira, dê uma prova e no caso de ser falsa, dê um contraexemplo com uma matriz
.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, para uma matriz
tal que
(isto é,
é antissimétrica), vale a igualdade entre o espaço gerado pelas linhas de
, denotado
, e o espaço gerado pelas colunas de
, denotado
. O conteúdo envolve as definições de espaço linha e espaço coluna e a propriedade da transposta de uma matriz.
Passo 2
Por definição, o espaço linha de
coincide com o espaço coluna da transposta de
. Em símbolos:
Passo 3
Como
, substituímos na igualdade acima:
Passo 4
Multiplicar todas as colunas de
por um escalar não nulo não altera o espaço que elas geram. Logo,
Passo 5
Fazendo a cadeia de igualdades, obtemos
ou seja, o espaço linha de
coincide com o espaço coluna de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.