Decida se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira. No caso se ser verdadeira, dê uma prova e no caso de ser falsa, dê um contraexemplo com uma matriz 2 times 2.
Se A^t=-A, então Lin(A)=Col(A).

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma matriz A tal que A^t=-A (isto é, A é antissimétrica), vale a igualdade entre o espaço gerado pelas linhas de A, denotado Lin(A), e o espaço gerado pelas colunas de A, denotado Col(A). O conteúdo envolve as definições de espaço linha e espaço coluna e a propriedade da transposta de uma matriz.

Passo 2

Por definição, o espaço linha de A coincide com o espaço coluna da transposta de A. Em símbolos:
Lin(A) ;=;Coll(A^tr)

Passo 3

Como A^t=-A, substituímos na igualdade acima:
Lin(A) =Coll(A^tr) =Coll(-Ar)

Passo 4

Multiplicar todas as colunas de A por um escalar não nulo não altera o espaço que elas geram. Logo,
Coll(-Ar) =Col(A)

Passo 5

Fazendo a cadeia de igualdades, obtemos
Lin(A) =Coll(-Ar) =Col(A),
ou seja, o espaço linha de A coincide com o espaço coluna de A.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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