Decida se a seguinte sequência converge. Em caso afirmativo, calcule o limite.
raiz[n]n(n+1)4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência raiz[n]n(n+1)4 converge, ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme n cresce. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos n(n+1)4 = n^2 + n4. Então, a sequência fica:
an = raiz[n]n^2 + n4

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos reescrever a raiz n-ésima como uma potência:
an = (n^2 + n4)^1n

Passo 4

Vamos dividir o numerador e o denominador por n^2, que é o termo de maior grau no numerador:
an = (n^2(1 + 1n)4)^1n = (n^24 cdot (1 + 1n))^1n = (n^24)^1n cdot (1 + 1n)^1n

Passo 5

Vamos separar os termos:
an = (n^24)^1n cdot (1 + 1n)^1n
Simplificando cada parte:
(n^24)^1n = (n^2)^1n cdot (14)^1n = n^2n cdot 4^-1n
E:
(1 + 1n)^1n

Passo 6

Vamos analisar cada fator separadamente quando n to infty:
  1. n^2n = e^2n ln n. Como ln nn to 0 quando n to infty, então n^2n to e^0 = 1.
  2. 4^-1n = e^-1n ln 4. Similarmente, -1n ln 4 to 0, então 4^-1n to e^0 = 1.
  3. (1 + 1n)^1n. Sabemos que limn to infty (1 + 1n)^n = e, então limn to infty (1 + 1n)^1n = e^1nln(1 + 1n). Como ln(1 + 1n)n to 0, temos que esse termo também tende a 1.

Passo 7

Multiplicando os limites dos fatores:
limn to infty an = 1 cdot 1 cdot 1 = 1

Resposta

A sequência raiz[n]n(n+1)4 converge e o limite é 1.

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