Decida se a seguinte sequência converge. Em caso afirmativo, calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência
converge, ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme
cresce. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos
. Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos reescrever a raiz
-ésima como uma potência:
Passo 4
Vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é o termo de maior grau no numerador:
Passo 5
Vamos separar os termos:
Simplificando cada parte:
E:
Passo 6
Vamos analisar cada fator separadamente quando
:
-
. Como quando , então . -
. Similarmente, , então . -
. Sabemos que , então . Como , temos que esse termo também tende a 1.
Passo 7
Multiplicando os limites dos fatores:
Resposta
A sequência
converge e o limite é 1.