Provar que para todo , a série é convergente e calcule sua soma.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma série infinita:
O conteúdo que precisamos usar aqui é a soma de uma série geométrica infinita. Para resolver isso, vamos precisar identificar o primeiro termo da série e a razão comum entre os termos.
Passo 2
Primeiro, identificamos o primeiro termo da série, que é .
Passo 3
Agora, identificamos a razão da série geométrica. Observando os termos, vemos que cada termo é dividido por para chegar ao próximo. Então, a razão é:
Passo 4
Para que uma série geométrica infinita converja, a razão deve satisfazer:
Vamos verificar isso para o nosso caso:
Como 11 + a^2 < 1 é sempre não negativo, . Portanto,
E como quando ,
Assim, a série converge para todo .
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula da soma S = a11 - r de uma série geométrica infinita é:
Onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 6
Substituindo os valores identificados:
a1 = a^2
r = 11 + a^2
Então,
S = a^21 - 11 + a^2
Passo 7
Vamos simplificar o denominador:
1 - 11 + a^2 = (1 + a^2) - 11 + a^2 = a^21 + a^2
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da soma:
S = a^2a^21 + a^2
Simplificando:
S = a^2 cdot (1 + a^2)a^2 = 1 + a^2
Resposta
A série S = 1 + a^2 é convergente para todo e sua soma é: