Provar que para todo a in R, a série a^2+a^21+a^2+a^2(1+a^2)^2+ldots é convergente e calcule sua soma.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma série infinita:
a^2 + a^21 + a^2 + a^2(1 + a^2)^2 + ldots
O conteúdo que precisamos usar aqui é a soma de uma série geométrica infinita. Para resolver isso, vamos precisar identificar o primeiro termo da série e a razão comum entre os termos.

Passo 2

Primeiro, identificamos o primeiro termo da série, que é a^2 .

Passo 3

Agora, identificamos a razão da série geométrica. Observando os termos, vemos que cada termo é dividido por r = 11 + a^2 para chegar ao próximo. Então, a razão é:

Passo 4

Para que uma série geométrica infinita converja, a razão |r| < 1 deve satisfazer:
| 11 + a^2 | < 1
Vamos verificar isso para o nosso caso:
11 + a^2 <= 1
Como 11 + a^2 < 1 é sempre não negativo, . Portanto,
E como quando ,
Assim, a série converge para todo .

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula da soma S = a11 - r de uma série geométrica infinita é:
Onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 6

Substituindo os valores identificados:
a1 = a^2
r = 11 + a^2
Então,
S = a^21 - 11 + a^2

Passo 7

Vamos simplificar o denominador:
1 - 11 + a^2 = (1 + a^2) - 11 + a^2 = a^21 + a^2

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da soma:
S = a^2a^21 + a^2
Simplificando:
S = a^2 cdot (1 + a^2)a^2 = 1 + a^2

Resposta

A série S = 1 + a^2 é convergente para todo e sua soma é:

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