Verdadeiro ou Falso? Justifique a sua resposta.
(a) Se
é LD, então
é LD.
(b) Se
é LI, então
é LI.
© Se
é LI, então
é LI.
(d) Se
é LD, então
é LD.
(e) Se
é LD, então
pode ser
ou
.
(f) Um conjunto com mais que três vetores em
é sempre
.
(g) Se
é LI e
então
é LI.
(a) Se
(b) Se
© Se
(d) Se
(e) Se
(f) Um conjunto com mais que três vetores em
(g) Se
Passo 1
O enunciado pede para avaliarmos sete afirmações envolvendo dependência e independência linear de vetores em espaços vetoriais, mais especificamente em $\mathbb{E}^3$. Vamos usar a definição de LD (coeficientes não todos nulos numa combinação linear nula) e de LI (apenas a combinação trivial gera o vetor nulo) e algumas propriedades de subconjuntos e transformações lineares de conjuntos.
Passo 2
Para (a), se \{u,v,w\} é LD então existe uma combinação não trivial $a u + b v + c w = 0$ com pelo menos um coeficiente não nulo. Porém isso pode envolver apenas $v,w$ ou $u,w$, deixando \{u,v\} LI, como no exemplo $w = u+v$. Logo (a) é Falso.
Passo 3
Para (b), é um fato geral: qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI, pois se não houvesse, teríamos uma combinação não trivial que violaria a independência do conjunto maior. Então (b) é Verdadeiro.
Passo 4
Para ©, temos dois vetores $x = 2u - v$ e $y = 2u - 5v$. Para checar LI basta ver se $x = \\lambda y$ leva só à solução trivial. Da equação $2u - v = \\lambda(2u-5v)$ vem $2 = 2\lambda$ e $-1 = -5\lambda$, que dão $\lambda = 1$ e $\lambda = 1/5$ – impossível. Logo só a combinação trivial funciona e © é Verdadeiro.
Passo 5
Para (d), se \{u,v\} é LD então $v = \\alpha u$. Então $u+v = (1+\alpha)u$ e $u-v = (1-\alpha)u$ são múltiplos de um mesmo vetor, portanto dependentes. Logo (d) é Verdadeiro.
Passo 6
Para (e), como vimos em (a), um conjunto de três vetores depender pode ser porque um está em span de dois independentes (caso em que \{u,v\} é LI) ou porque os dois também dependem. Então \{u,v\} pode tanto ser LI quanto LD. (e) é Verdadeiro.
Passo 7
Para (f), em um espaço de dimensão 3 qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente LD, pois não existem 4 vetores LI em $\mathbb{E}^3$. Logo (f) é Verdadeiro.
Passo 8
Para (g), mesmo que \{u,v\} seja LI e $w$ não pertença exatamente ao conjunto \{u,v\}, ainda pode ocorrer $w = a u + b v$ e assim o trio fica LD. Então (g) é Falso.
Resposta
a) Falso; b) Verdadeiro; c) Verdadeiro; d) Verdadeiro; e) Verdadeiro; f) Verdadeiro; g) Falso.