Verdadeiro ou Falso? Justifique a sua resposta.
(a) Se v u, v v, v w é LD, então v u, v nu é LD.
(b) Se v u, v v, v w é LI, então v u, v v é LI.
© Se v u, v v é LI, então 2 v u-v v, 2 v u-5 v v é LI.
(d) Se v u, v nu é LD, então v u+v v, v u-v nu é LD.
(e) Se v u, v v, v w é LD, então v u, v v pode ser L I ou L D.
(f) Um conjunto com mais que três vetores em E^3 é sempre L D.
(g) Se v u, v v é LI e v w notinv u, v v então v u, v v, v w é LI.

Passo 1

O enunciado pede para avaliarmos sete afirmações envolvendo dependência e independência linear de vetores em espaços vetoriais, mais especificamente em $\mathbb{E}^3$. Vamos usar a definição de LD (coeficientes não todos nulos numa combinação linear nula) e de LI (apenas a combinação trivial gera o vetor nulo) e algumas propriedades de subconjuntos e transformações lineares de conjuntos.

Passo 2

Para (a), se \{u,v,w\} é LD então existe uma combinação não trivial $a u + b v + c w = 0$ com pelo menos um coeficiente não nulo. Porém isso pode envolver apenas $v,w$ ou $u,w$, deixando \{u,v\} LI, como no exemplo $w = u+v$. Logo (a) é Falso.

Passo 3

Para (b), é um fato geral: qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI, pois se não houvesse, teríamos uma combinação não trivial que violaria a independência do conjunto maior. Então (b) é Verdadeiro.

Passo 4

Para ©, temos dois vetores $x = 2u - v$ e $y = 2u - 5v$. Para checar LI basta ver se $x = \\lambda y$ leva só à solução trivial. Da equação $2u - v = \\lambda(2u-5v)$ vem $2 = 2\lambda$ e $-1 = -5\lambda$, que dão $\lambda = 1$ e $\lambda = 1/5$ – impossível. Logo só a combinação trivial funciona e © é Verdadeiro.

Passo 5

Para (d), se \{u,v\} é LD então $v = \\alpha u$. Então $u+v = (1+\alpha)u$ e $u-v = (1-\alpha)u$ são múltiplos de um mesmo vetor, portanto dependentes. Logo (d) é Verdadeiro.

Passo 6

Para (e), como vimos em (a), um conjunto de três vetores depender pode ser porque um está em span de dois independentes (caso em que \{u,v\} é LI) ou porque os dois também dependem. Então \{u,v\} pode tanto ser LI quanto LD. (e) é Verdadeiro.

Passo 7

Para (f), em um espaço de dimensão 3 qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente LD, pois não existem 4 vetores LI em $\mathbb{E}^3$. Logo (f) é Verdadeiro.

Passo 8

Para (g), mesmo que \{u,v\} seja LI e $w$ não pertença exatamente ao conjunto \{u,v\}, ainda pode ocorrer $w = a u + b v$ e assim o trio fica LD. Então (g) é Falso.

Resposta

a) Falso; b) Verdadeiro; c) Verdadeiro; d) Verdadeiro; e) Verdadeiro; f) Verdadeiro; g) Falso.

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