Decida quais dos seguintes conjuntos geram R^3 :
c) (1,4,2),(0,0,0),(-1,-3,-1),(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
(1,4,2),(0,0,0),(-1,-3,-1),(0,1,1)
gera o espaço R^3.
Conteúdo: geração de espaço vetorial e posto de uma família de vetores.

Passo 2

Como o vetor (0,0,0) é o vetor nulo, ele não contribui para a geração. Precisamos então ver se os três vetores
v1=(1,4,2), v2=(-1,-3,-1), v3=(0,1,1)
são capazes de gerar R^3, ou seja, se são linearmente independentes (posto =3).

Passo 3

Formamos a matriz cujas linhas (ou colunas) são v1,v2,v3 e calculamos o determinante para checar independência:
A = 1 & 4 & 2 -1 & -3 & -1 0 & 1 & 1
Então
det(A) =1cdotl((-3)cdot1 -(-1)cdot1r) -4cdotl((-1)cdot1 -(-1)cdot0r) +2cdotl((-1)cdot1 -(-3)cdot0r)

Passo 4

Calculando cada termo:
1cdot(-3+1) -4cdot(-1-0) +2cdot(-1-0) =1cdot(-2) -4cdot(-1) +2cdot(-1) =-2 +4 -2 = 0
Como det(A)=0, os vetores v1,v2,v3 são linearmente dependentes e o posto da família é menor que 3.

Passo 5

O posto da família original é no máximo 2, portanto ela não gera todo R^3.

Resposta

O conjunto não gera R^3.

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