Pedido: encontrar uma matriz invertível M\in M_{4}(\mathbb{R}) tal que M^{-1}[T]_{\mathcal{B}}M seja uma matriz diagonal.
Passo 2
O que significa diagonalizar aqui (uma mini-aula rápida e prática). Uma matriz A é diagonalizável se existe uma base formada por vetores próprios (autovetores) de A. Se conseguir encontrar 4 vetores próprios linearmente independentes v_1,\dots,v_4 de A=[T]_{\mathcal{B}}, então a matriz M com essas colunas satisfaz
M^{-1}AM = D,
onde D é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores correspondentes na mesma ordem das colunas de M. Aqui A=[T]_{\mathcal{B}}.
Estratégia prática: buscar autovetores explorando simetrias da matriz em blocos (ou seja, testar combinações coordenadas iguais/iguais com sinais trocados) para reduzir o trabalho ao resolver apenas pequenos sistemas.
Passo 3
Observação sobre estrutura e escolha de vetores teste (intuição): a matriz tem uma aparência de blocos 2×2 com padrões repetidos entre as duas primeiras coordenadas e entre as duas últimas. Então vale testar vetores do tipo
Esses quatro vetores são linearmente independentes (por exemplo, formando a matriz cuja determinante pode ser verificado como -12, não nulo), logo fornecem uma base de autovetores e a matriz é diagonalizável. Assim podemos escolher M com essas colunas: M=[\,v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\,]. Na ordem escolhida a matriz diagonal resultante será
D=\operatorname{diag}(3,3,-3,-3).
Passo 7
Escrevendo explicitamente M (colunas são os autovetores na ordem em que listei) e o D: