Seja T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) uma transformação linear cuja matriz em relação à base
\mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\}
é dada por
[T]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{cccc} -1 & -4 & -2 & -2 \\\\ -4 & -1 & -2 & -2 \\\\ 2 & 2 & 1 & 4 \\\\ 2 & 2 & 4 & 1 \end{array}\right)
Determine uma matriz invertível M \in M_{4}(\mathbb{R}) tal que M^{-1}[T]_{\mathcal{B}} M seja uma matriz diagonal.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a matriz de T na base \mathcal{B} é
[T]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} -1 & -4 & -2 & -2 \\\\ -4 & -1 & -2 & -2 \\\\ 2 & 2 & 1 & 4 \\\\ 2 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
  • Pedido: encontrar uma matriz invertível M\in M_{4}(\mathbb{R}) tal que M^{-1}[T]_{\mathcal{B}}M seja uma matriz diagonal.

Passo 2

O que significa diagonalizar aqui (uma mini-aula rápida e prática). Uma matriz A é diagonalizável se existe uma base formada por vetores próprios (autovetores) de A. Se conseguir encontrar 4 vetores próprios linearmente independentes v_1,\dots,v_4 de A=[T]_{\mathcal{B}}, então a matriz M com essas colunas satisfaz
M^{-1}AM = D,
onde D é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores correspondentes na mesma ordem das colunas de M. Aqui A=[T]_{\mathcal{B}}.
Estratégia prática: buscar autovetores explorando simetrias da matriz em blocos (ou seja, testar combinações coordenadas iguais/iguais com sinais trocados) para reduzir o trabalho ao resolver apenas pequenos sistemas.

Passo 3

Observação sobre estrutura e escolha de vetores teste (intuição): a matriz tem uma aparência de blocos 2×2 com padrões repetidos entre as duas primeiras coordenadas e entre as duas últimas. Então vale testar vetores do tipo
e=(1,1,0,0),\quad g=(1,-1,0,0),\quad f=(0,0,1,1),\quad h=(0,0,1,-1).
Vou aplicar A=[T]_{\mathcal{B}} a esses vetores e ver o que acontece (isso é só multiplicação de matriz por vetor).
Calcule A e:
A\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1\cdot1 + -4\cdot1 + -2\cdot0 + -2\cdot0\\[4pt] -4\cdot1 + -1\cdot1 + -2\cdot0 + -2\cdot0\\[4pt] 2\cdot1 + 2\cdot1 + 1\cdot0 + 4\cdot0\\[4pt] 2\cdot1 + 2\cdot1 + 4\cdot0 + 1\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5\\\ -5\\\ 4\\\ 4\end{pmatrix} =-5\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Calcule A f:
A\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\\ -4\\\ 5\\\ 5\end{pmatrix} =-4\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}+5\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Conclusão intermediária: o subespaço gerado por e e f é estável por A. A ação de A nesse subespaço, na base (e,f), é representada pela matriz 2\times2
A_{|_{\mathrm{span}\{e,f\}} = \begin{pmatrix} -5 & -4\\[4pt] 4 & 5 \end{pmatrix}, }
pois A e = -5 e + 4 f e A f = -4 e + 5 f.]

Passo 4

Diagonalizar essa 2\times2 reduzindo o problema. Encontrar autovalores \lambda de
\begin{pmatrix} -5 & -4\\[4pt] 4 & 5 \end{pmatrix}
fazendo o determinante
\det\!\begin{pmatrix}-5-\lambda & -4\\[4pt]4 & 5-\lambda\end{pmatrix}=0.
Calcule:
(-5-\lambda)(5-\lambda)+16=\lambda^2-9=0.
Logo \lambda^2=9 e os autovalores são \lambda=3 e \lambda=-3.
Agora obtenha autovetores nessa base:
  • Para \lambda=3, resolver (A_{|}-3I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0:
\begin{pmatrix}-8 & -4\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+y=0 \Rightarrow y=-2x.
Escolhendo x=1 obtemos o vetor (na base padrão das 4 coordenadas)
v^{(3)}_1 = e-2f = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix},
que é autovetor de A com autovalor 3.
  • Para \lambda=-3, resolver (A_{|}+3I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0:
\begin{pmatrix}-2 & -4\\[4pt]4 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \quad\Rightarrow\quad x+2y=0 \Rightarrow x=-2y.
Escolhendo y=1 obtemos (na base padrão)
v^{(-3)}_1 = -2e+f = \begin{pmatrix}-2\\\ -2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
autovetor correspondente a -3.]

Passo 5

Agora trate do outro par de vetores teste g e h (os “com sinais trocados”) — muitas vezes esses vetores já são autovetores diretamente.
Calcule A g com g=(1,-1,0,0):
A\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1\cdot1 + -4\cdot(-1) + \cdots \\\\ -4\cdot1 + -1\cdot(-1) + \cdots \\\\ 2\cdot1 + 2\cdot(-1) + \cdots \\\\ 2\cdot1 + 2\cdot(-1) + \cdots \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\\ -3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto g é autovetor com autovalor 3.
Calcule A h com h=(0,0,1,-1):
A\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -3\\\ 3\end{pmatrix}=-3\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Portanto h é autovetor com autovalor -3.

Passo 6

Reunindo autovalores e autovetores encontrados:
  • Autovalor 3: autovetores
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix}.
  • Autovalor -3: autovetores
v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\qquad v_4=\begin{pmatrix}-2\\\ -2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Esses quatro vetores são linearmente independentes (por exemplo, formando a matriz cuja determinante pode ser verificado como -12, não nulo), logo fornecem uma base de autovetores e a matriz é diagonalizável. Assim podemos escolher M com essas colunas: M=[\,v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\,]. Na ordem escolhida a matriz diagonal resultante será
D=\operatorname{diag}(3,3,-3,-3).

Passo 7

Escrevendo explicitamente M (colunas são os autovetores na ordem em que listei) e o D:
M= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix},
e de fato M é invertível e satisfaz M^{-1}[T]_{\mathcal{B}}M=D.]

Resposta

M= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
D= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}]

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