Decida se as seguintes séries são condicionalmente convergentes, absolutamente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty (-1)^n+15^n n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente sobre convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergência Absoluta: Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge.
  • Convergência Condicional: Uma série converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
  • Divergente: Se a série não converge, ela é divergente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+15^n n! | = sumn=1^infty 15^n n!

Passo 4

Observamos que é sempre positiva, então podemos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência dessa série.

Passo 5

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão na nossa série:
an = 15^n n!, an+1 = 15^n+1 (n+1)!
Então,
an+1an = 15^n+1 (n+1)! times 5^n n!1 = 15 (n+1)

Passo 7

Calculamos o limite:
L = limn to infty 15 (n+1) = 0
Como , a série dos valores absolutos converge.

Passo 8

Como a série dos valores absolutos converge, a série original também converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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