Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a fórmula:
E pede para mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais de uma função que depende de duas variáveis,
e
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas de
em relação a
e
, respectivamente, e depois multiplicá-las. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada de
em relação a
. A fórmula que temos é:
Para derivar isso em relação a
, podemos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é
.
Vamos identificar
e
.
Calculando as derivadas:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Temos:
Para derivar isso novamente em relação a
, usamos a regra da cadeia. Vamos escrever a expressão como:
Derivando:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
:
Usando a mesma fórmula:
Derivando em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Derivando novamente:
Passo 5
Agora que temos as duas segundas derivadas:
Vamos multiplicá-las:
Agora, vamos lembrar que:
Substituindo
na expressão anterior:
Resposta
Portanto, mostramos que: