R=R1 R2R1+R2
Mostre que: partial^2 Rpartial R1^2 partial^2 Rpartial R2^2=4 R^2(R1+R2)^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a fórmula:
R = R1 R2R1 + R2
E pede para mostrar que:
partial^2 Rpartial R1^2 cdot partial^2 Rpartial R2^2 = 4 R^2(R1 + R2)^4
Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais de uma função que depende de duas variáveis, e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a e , respectivamente, e depois multiplicá-las. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de R = R1 R2R1 + R2 em relação a partial Rpartial R1 = R2 (R1 + R2) - R1 R2 (1)(R1 + R2)^2 = R2 R1 + R2^2 - R1 R2(R1 + R2)^2 = R2^2(R1 + R2)^2 . A fórmula que temos é:
Para derivar isso em relação a , podemos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é .
Vamos identificar e .
Calculando as derivadas:
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial Rpartial R1 = R2^2(R1 + R2)^2 em relação a partial Rpartial R1 = R2^2 (R1 + R2)^-2 , ou seja, partial^2 Rpartial R1^2 = R2^2 cdot (-2)(R1 + R2)^-3 = -2 R2^2(R1 + R2)^3 .
Temos:
Para derivar isso novamente em relação a , usamos a regra da cadeia. Vamos escrever a expressão como:
Derivando:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para R = R1 R2R1 + R2 . Primeiro, a primeira derivada de partial Rpartial R2 = R1 (R1 + R2) - R1 R2 (1)(R1 + R2)^2 = R1^2(R1 + R2)^2 em relação a partial Rpartial R2 = R1^2(R1 + R2)^2 = R1^2 (R1 + R2)^-2 :
Usando a mesma fórmula:
partial^2 Rpartial R2^2 = R1^2 cdot (-2)(R1 + R2)^-3 = -2 R1^2(R1 + R2)^3
Derivando em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :
Derivando novamente:

Passo 5

Agora que temos as duas segundas derivadas:
partial^2 Rpartial R1^2 = -2 R2^2(R1 + R2)^3 partial^2 Rpartial R2^2 = -2 R1^2(R1 + R2)^3
Vamos multiplicá-las:
partial^2 Rpartial R1^2 cdot partial^2 Rpartial R2^2 = (-2 R2^2(R1 + R2)^3) cdot (-2 R1^2(R1 + R2)^3) = 4 R1^2 R2^2(R1 + R2)^6
Agora, vamos lembrar que:
R = R1 R2R1 + R2 Rightarrow R^2 = R1^2 R2^2(R1 + R2)^2
Substituindo 4 R1^2 R2^2(R1 + R2)^6 = 4 R^2(R1 + R2)^4 na expressão anterior:

Resposta

Portanto, mostramos que:
partial^2 Rpartial R1^2 cdot partial^2 Rpartial R2^2 = 4 R^2(R1 + R2)^4

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