Decida se os seguintes subconjuntos do
abaixo em formam uma base
.
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado tá pedindo pra gente decidir se o conjunto de vetores
forma uma base para
. A matéria aqui é sobre bases e combinações lineares. A gente vai precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em
, uma base precisa ter exatamente três vetores que são linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se a gente tiver apenas dois vetores, mesmo que eles sejam independentes, não vai dar pra cobrir todo o espaço
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto que temos:
. São apenas dois vetores. Como estamos em
, que tem dimensão 3, a gente precisa de três vetores para formar uma base. Mesmo que esses dois vetores sejam linearmente independentes, eles não conseguem gerar todo o espaço
.
Passo 4
Para reforçar, vamos pensar que cada vetor traz informações sobre uma direção no espaço. Com dois vetores, a gente está conseguindo cobrir, no máximo, um plano dentro de
, mas não o espaço todo. Por isso, falta mais um vetor para esticar esse plano e cobrir todo o espaço tridimensional.
Resposta
Não, o conjunto
não forma uma base para
, pois falta um terceiro vetor para completar a base.