Decida se os seguintes subconjuntos do R^3 abaixo em formam uma base R^3.
(1,1,1),(2,-1,1).

Passo 1

Beleza, então o enunciado tá pedindo pra gente decidir se o conjunto de vetores (1,1,1), (2,-1,1) forma uma base para R^3. A matéria aqui é sobre bases e combinações lineares. A gente vai precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em R^3, uma base precisa ter exatamente três vetores que são linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se a gente tiver apenas dois vetores, mesmo que eles sejam independentes, não vai dar pra cobrir todo o espaço R^3.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto que temos: (1,1,1), (2,-1,1). São apenas dois vetores. Como estamos em R^3, que tem dimensão 3, a gente precisa de três vetores para formar uma base. Mesmo que esses dois vetores sejam linearmente independentes, eles não conseguem gerar todo o espaço R^3.

Passo 4

Para reforçar, vamos pensar que cada vetor traz informações sobre uma direção no espaço. Com dois vetores, a gente está conseguindo cobrir, no máximo, um plano dentro de R^3, mas não o espaço todo. Por isso, falta mais um vetor para esticar esse plano e cobrir todo o espaço tridimensional.

Resposta

Não, o conjunto (1,1,1), (2,-1,1) não forma uma base para R^3, pois falta um terceiro vetor para completar a base.

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