Responda a questão com verdadeiro ou falso, justificando suas respostas (ou seja, se verdadeiro prove, se falso dê um contraexemplo).
Seja
um espaço vetorial com dimensão finita
, então todo conjunto de
vetores em
é L.I.
Seja
Passo 1
Vamos analisar a questão que diz: “Seja
um espaço vetorial com dimensão finita
, então todo conjunto de
vetores em
é linearmente independente.” Aqui, estamos trabalhando com o conceito de independência linear em espaços vetoriais de dimensão finita. Para resolver, vamos revisar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores
em
é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
implica que
.
Passo 3
Agora, consideremos que
tem dimensão finita
. Isso significa que qualquer conjunto de
vetores que seja uma base de
é linearmente independente. Porém, a afirmação da questão diz que todo conjunto de
vetores é linearmente independente, o que implica que qualquer seleção de
vetores funcionaria como uma base, o que não é necessariamente verdade.
Passo 4
Vamos ver um exemplo para ilustrar isso. Considere o espaço vetorial
, que tem dimensão 2. Se tomarmos os vetores
e
, temos um conjunto de 2 vetores, mas eles não são linearmente independentes porque um é múltiplo do outro. Assim, nem todo conjunto de
vetores em
é linearmente independente.
Resposta
Falso. Nem todo conjunto de
vetores em
é linearmente independente. Por exemplo, em
, os vetores
e
são dois vetores que não são linearmente independentes.