Responda a questão com verdadeiro ou falso, justificando suas respostas (ou seja, se verdadeiro prove, se falso dê um contraexemplo).
Seja V um espaço vetorial com dimensão finita n, então todo conjunto de n vetores em V é L.I.

Passo 1

Vamos analisar a questão que diz: “Seja V um espaço vetorial com dimensão finita n , então todo conjunto de n vetores em V é linearmente independente.” Aqui, estamos trabalhando com o conceito de independência linear em espaços vetoriais de dimensão finita. Para resolver, vamos revisar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores v1, v2, dots, vn em V é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
a1v1 + a2v2 + dots + anvn = 0
implica que a1 = a2 = dots = an = 0 .

Passo 3

Agora, consideremos que V tem dimensão finita n . Isso significa que qualquer conjunto de n vetores que seja uma base de V é linearmente independente. Porém, a afirmação da questão diz que todo conjunto de n vetores é linearmente independente, o que implica que qualquer seleção de n vetores funcionaria como uma base, o que não é necessariamente verdade.

Passo 4

Vamos ver um exemplo para ilustrar isso. Considere o espaço vetorial R^2 , que tem dimensão 2. Se tomarmos os vetores v1 = (1, 0) e v2 = (1, 0) , temos um conjunto de 2 vetores, mas eles não são linearmente independentes porque um é múltiplo do outro. Assim, nem todo conjunto de n vetores em V é linearmente independente.

Resposta

Falso. Nem todo conjunto de n vetores em V é linearmente independente. Por exemplo, em R^2 , os vetores (1, 0) e (1, 0) são dois vetores que não são linearmente independentes.

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