Sejam \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) e \vec{c}=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right) três vetores. O determinante de \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} é o número real
\begin{aligned} \operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) & :=\left|\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|=a_{1}\left|\begin{array}{ll} b_{2} & c_{2} \\\ b_{3} & c_{3} \end{array}\right|-a_{2}\left|\begin{array}{ll} b_{1} & c_{1} \\\ b_{3} & c_{3} \end{array}\right|+a_{3}\left|\begin{array}{ll} b_{1} & c_{1} \\\ b_{2} & c_{2} \end{array}\right| \\\ & =a_{1}\left(b_{2} c_{3}-b_{3} c_{2}\right)-a_{2}\left(b_{1} c_{3}-b_{3} c_{1}\right)+a_{3}\left(b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}\right) \end{aligned}
(a) Mostre que \operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})=(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}. Observação: o número real (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} é chamado produto misto dos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}, e é denotado por [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]. Assim, \operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})=[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}].
(b) Deduza que \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} são coplanares se e somente se \operatorname{det}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})=0.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \vec{a}=\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right) e \vec{c}=\left(c_{1},c_{2},c_{3}\right). Pede duas coisas:
  1. Mostrar que \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}.
  2. Deduzir que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares se, e somente se, \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • A definição explícita do determinante \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) como
\operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})-a_{2}(b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1})+a_{3}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}).
  • Os vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} no espaço \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Definição e cálculo do produto vetorial \vec{a}\times\vec{b}.
O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor em \mathbb{R}^{3} definido componente a componente por menores de 2\times2. A sua expressão componente a componente é
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\bigr).
Aqui cada componente é obtida pegando o determinante do menor 2\times2 formado pelas componentes restantes, com o segundo componente trocando de sinal (isso vem da regra de Sarrus/menores algebricos). Não precisa decorar: observar que o padrão é exatamente o mesmo dos cofactores de uma matriz 3\times3.

Passo 3

Calcular (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} (produto escalar do vetor do passo anterior com \vec{c}) e expandir.
Usando a expressão do passo anterior, o produto escalar é
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = c_{1}\bigl(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\bigr) + c_{2}\bigl(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\bigr) + c_{3}\bigl(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\bigr).
Agora vamos reorganizar essa soma para compará-la com a fórmula dada para \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c}). Ordenando os termos por a_{1},a_{2},a_{3}, obtemos
\begin{aligned} (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} &= a_{1}\bigl(c_{3}b_{2}-c_{2}b_{3}\bigr) + a_{2}\bigl(c_{1}b_{3}-c_{3}b_{1}\bigr) + a_{3}\bigl(c_{2}b_{1}-c_{1}b_{2}\bigr). \end{aligned}
Note que, em cada parêntese, trocando a ordem dos fatores em um determinante 2\times2 aparece sinal conforme esperado: por exemplo c_{3}b_{2}-c_{2}b_{3}=-(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}). Aplicando essa troca de ordem para deixar os termos na mesma forma da definição do determinante, obtemos
\begin{aligned} (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} &= -a_{1}\bigl(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}\bigr) - a_{2}\bigl(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3}\bigr) - a_{3}\bigl(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\bigr). \end{aligned}
Agora observe que o segundo termo pode ser reescrito trocando os sinais internamente:
- \bigl(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3}\bigr)= -b_{3}c_{1}+b_{1}c_{3}=b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1},
portanto recolocando os sinais adequadamente chegamos exatamente à forma
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = a_{1}\bigl(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}\bigr) - a_{2}\bigl(b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1}\bigr) + a_{3}\bigl(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\bigr).
Mas essa última expressão é idêntica à definição fornecida para \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c}). Logo concluímos a igualdade pedida.

Passo 4

Conclusão do item (a) e comentário didático.
Concluímos que
\operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}.
Interpretação geométrica rápida (útil para prova): o valor (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} é o volume orientado do paralelepípedo construído sobre \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Essa interpretação explica por que o determinante muda de sinal quando trocamos vetores etc., mas a demonstração algebraica acima é suficiente e direta.

Passo 5

Provar o item (b): se \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares então \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0.
Definição prática: dizer que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares significa que existe um plano que passa pela origem que contém os três vetores; isso é equivalente a dizer que \vec{c} é combinação linear de \vec{a} e \vec{b}, ou seja existem escalares s,t tais que
\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}.
Usando a identidade do item (a),
\operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\bigl(s\vec{a}+t\vec{b}\bigr) = s(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}+t(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}.
Mas o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é perpendicular a \vec{a} e a \vec{b}, logo
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0,\qquad (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0.
Assim \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0. (Se quiser ver a verificação direta de (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0, basta expandir componentes e observar o cancelamento termo a termo.)

Passo 6

Provar o item (b) na outra direção: se \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0 então \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares.
Se \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0 então, pela parte (a),
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=0.
Há dois casos a considerar:
  1. \vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}. Neste caso \vec{a}\times\vec{b} é um vetor não nulo perpendicular ao plano gerado por \vec{a} e \vec{b}. A igualdade (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=0 diz que \vec{c} é perpendicular a \vec{a}\times\vec{b}. Mas os vetores perpendiculares a \vec{a}\times\vec{b} formam exatamente o plano gerado por \vec{a} e \vec{b}. Logo \vec{c} pertence a esse plano, isto é, \vec{c} é combinação linear de \vec{a} e \vec{b} e, portanto, os três vetores são coplanares.
  2. \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}. Nesse caso \vec{a} e \vec{b} são colineares (um é múltiplo do outro). Mas então \vec{a} e \vec{b} estão sobre a mesma reta que passa pela origem; existe sempre um plano que contém essa reta e o vetor \vec{c} (por exemplo o plano gerado por \vec{a} e \vec{c}). Portanto \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares.
Assim, em ambos os casos, \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0 implica que os três vetores são coplanares. Combinando com o passo anterior obtemos a equivalência desejada.

Resposta

\operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}
\vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares se, e somente se, \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0

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