Decida se a série abaixo é convergente ou divergente, justificando a resposta. No caso convergente, se possível, determine sua soma.
sumn=1^+infty 5^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série sumn=1^+infty 5^nn! é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar envolve séries infinitas e, para isso, vamos precisar aplicar o Teste da Razão que ajuda a determinar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série sum an, se o limite limn to infty | an+1an | for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, diverge. Se for igual a 1, o teste não dá resposta e precisamos tentar outro método.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Aqui, an = 5^nn!. Então, calculamos an+1:
an+1 = 5^n+1(n+1)!
Agora, calculamos a razão an+1an:
an+1an = 5^n+1(n+1)!5^nn! = 5^n+1 cdot n!5^n cdot (n+1)! = 5 cdot 5^n cdot n!5^n cdot (n+1) cdot n! = 5n+1

Passo 4

Agora, calculamos o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
limn to infty 5n+1 = 0
Como 0 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, vamos tentar encontrar sua soma. Sabemos que a série sumn=0^+infty x^nn! é igual a e^x, onde e é a base dos logaritmos naturais. No nosso caso, x = 5:
sumn=0^+infty 5^nn! = e^5
Mas nosso exercício começa em n=1, então precisamos subtrair o primeiro termo ( n=0):
sumn=1^+infty 5^nn! = e^5 - 5^00! = e^5 - 1

Resposta

A série sumn=1^+infty 5^nn! é convergente e sua soma é e^5 - 1.

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