Encontre todos os valores de x para os quais a série abaixo converge e determine sua soma.
4(x-3)^2+4(x-3)^4+4(x-3)^6+4(x-3)^8+ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar todos os valores de $ x $ que fazem a série $ \frac{4}{(x-3)^2} + \frac{4}{(x-3)^4} + \frac{4}{(x-3)^6} + \frac{4}{(x-3)^8} + ··· $ convergir e também determinar a soma dessa série. Vamos usar o conteúdo de Séries Geométricas para resolver isso. Precisaremos entender o que é uma série geométrica, qual é a condição para a convergência e como calcular a soma dela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos aqui. Observando os termos:
4(x-3)^2, 4(x-3)^4, 4(x-3)^6, 4(x-3)^8, ldots
Perceba que cada termo é $ \frac{4}{(x-3)^{2n}} $, onde $ n $ começa em 1 e vai aumentando. Isso faz com que nossa série seja uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.

Passo 3

Em uma série geométrica, temos que cada termo é dado por:
an = a1 cdot r^n-1
Onde:
  • $ a_1 $ é o primeiro termo.
  • $ r $ é a razão da série.
No nosso caso:
  • $ a_1 = \frac{4}{(x-3)^2} $
  • Para encontrar $ r $, dividimos o segundo termo pelo primeiro:
a1
Então, nossa razão $ r $ é $ \frac{1}{(x-3)^2} $.

Passo 4

Agora, precisamos saber quando essa série converge. Para uma série geométrica convergir, a razão $ r $ deve satisfazer:
r
Substituindo $ r $ pela nossa expressão:
|r| < 1
Como $ (x-3)^2 $ é sempre positivo (pois é um quadrado), podemos simplificar para:
r

Passo 5

Resolvendo a desigualdade:
1(x-3)^2 < 1 Rightarrow (x-3)^2 > 1
Tirando a raiz quadrada dos dois lados (lembre-se de considerar as duas possibilidades):
|x - 3| > 1
Isso significa que $ x - 3 > 1 $ ou $ x - 3 < -1 $, então:
x - 3 > 1
Portanto, a série converge para valores de $ x $ tais que $ x > 4 $ ou $ x < 2 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular a soma da série quando ela converge. Para uma série geométrica, a soma $ S $ é dada por:
S
Substituindo nossos valores:
S = a11 - r
Vamos simplificar o denominador:
S = 4(x-3)^21 - 1(x-3)^2
Então:
1 - 1(x-3)^2 = (x-3)^2 - 1(x-3)^2

Resposta

A série converge para todos os valores de $ x $ tais que $ x > 4 $ ou $ x < 2 $ e a soma da série é:
x

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