Encontre todos os valores de
para os quais a série abaixo converge e determine sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar todos os valores de $ x $ que fazem a série $ \frac{4}{(x-3)^2} + \frac{4}{(x-3)^4} + \frac{4}{(x-3)^6} + \frac{4}{(x-3)^8} + ··· $ convergir e também determinar a soma dessa série. Vamos usar o conteúdo de Séries Geométricas para resolver isso. Precisaremos entender o que é uma série geométrica, qual é a condição para a convergência e como calcular a soma dela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que temos aqui. Observando os termos:
Perceba que cada termo é $ \frac{4}{(x-3)^{2n}} $, onde $ n $ começa em 1 e vai aumentando. Isso faz com que nossa série seja uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
Passo 3
Em uma série geométrica, temos que cada termo é dado por:
Onde:
- $ a_1 $ é o primeiro termo.
- $ r $ é a razão da série.
No nosso caso:
- $ a_1 = \frac{4}{(x-3)^2} $
- Para encontrar $ r $, dividimos o segundo termo pelo primeiro:
Então, nossa razão $ r $ é $ \frac{1}{(x-3)^2} $.
Passo 4
Agora, precisamos saber quando essa série converge. Para uma série geométrica convergir, a razão $ r $ deve satisfazer:
Substituindo $ r $ pela nossa expressão:
Como $ (x-3)^2 $ é sempre positivo (pois é um quadrado), podemos simplificar para:
Passo 5
Resolvendo a desigualdade:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados (lembre-se de considerar as duas possibilidades):
Isso significa que $ x - 3 > 1 $ ou $ x - 3 < -1 $, então:
Portanto, a série converge para valores de $ x $ tais que $ x > 4 $ ou $ x < 2 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular a soma da série quando ela converge. Para uma série geométrica, a soma $ S $ é dada por:
Substituindo nossos valores:
Vamos simplificar o denominador:
Então:
Resposta
A série converge para todos os valores de $ x $ tais que $ x > 4 $ ou $ x < 2 $ e a soma da série é: