Beleza, vamos lá! Você tem que decidir se a série converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de Séries Infinitas e vamos precisar entender alguns testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita é a soma de infinitos termos. No seu caso, cada termo é . Para saber se essa soma chega a um número finito (converge) ou não (diverge), usamos alguns testes de convergência.
Passo 3
Um bom teste para esse tipo de série é o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste é útil quando os termos da série têm fatorial, exponenciais ou potências, como no nosso caso.
Passo 4
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando tende ao infinito. Matematicamente, é:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não conclui nada.
Passo 5
Vamos aplicar isso na nossa série. Primeiro, identifique an:
an = n3^n
Agora, calcule an+1:
an+1 = n+13^n+1
Passo 6
Agora, encontre a razão an+1an:
an+1an = n+13^n+1n3^n = n+1n cdot 13
Simplificando:
an+1an = (1 + 1n) cdot 13
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (1 + 1n) cdot 13 = (1 + 0) cdot 13 = 13
Passo 8
Como L = 13 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.