Decida se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1e^n-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para decidir se a série sumn=1^infty 1e^n - n converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns testes de comparação que ajudam a determinar o comportamento dessas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série infinita sum an converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando n vai para o infinito. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos da nossa série: 1e^n - n. Perceba que para valores grandes de n, e^n cresce muito mais rápido que n. Isso significa que, para n grande, e^n - n approx e^n. Então, podemos simplificar nosso termo da série para aproximadamente 1e^n.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1e^n é uma série geométrica com razão r = 1e. Como e approx 2,718, temos r = 12,718 < 1. Sabemos que séries geométricas com razão |r| < 1 convergem.

Passo 5

Para formalizar, vamos usar o Teste da Comparação Limitada. Comparamos nossa série original sum 1e^n - n com a série geométrica sum 1e^n. Calculamos o limite:
limn to infty 1e^n - n1e^n = limn to infty e^ne^n - n = limn to infty 11 - ne^n = 1
Como o limite é um número finito positivo (1), e a série de comparação sum 1e^n converge, então nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1e^n - n converge.

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