Decida se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para decidir se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns testes de comparação que ajudam a determinar o comportamento dessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série infinita
converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando
vai para o infinito. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar os termos da nossa série:
. Perceba que para valores grandes de
,
cresce muito mais rápido que
. Isso significa que, para
grande,
. Então, podemos simplificar nosso termo da série para aproximadamente
.
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série geométrica com razão
. Como
, temos
. Sabemos que séries geométricas com razão
convergem.
Passo 5
Para formalizar, vamos usar o Teste da Comparação Limitada. Comparamos nossa série original
com a série geométrica
. Calculamos o limite:
Como o limite é um número finito positivo (1), e a série de comparação
converge, então nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.