A sequência
converge? Em caso afirmativo, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por:
A pergunta é: essa sequência converge? E se sim, qual é o seu limite? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e como calcular o limite dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Dizemos que uma sequência
converge para um número
se, à medida que
cresce, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
. Ou seja, para qualquer erro pequeno que a gente escolher, existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos estão dentro desse erro de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa sequência:
Aqui, temos duas partes principais: a constante
e o termo
. O
faz com que esse termo alterne de sinal conforme
aumenta.
Passo 4
Vamos ver o que acontece com cada parte quando
cresce:
-
: Essa parte é constante, não muda com . -
: À medida que aumenta, diminui e se aproxima de zero. Então, se aproxima de . Mas como tem o , esse termo vai ser aproximado por .
Passo 5
Então, para valores grandes de
, a sequência fica aproximadamente:
Isso significa que, dependendo se
é par ou ímpar,
vai se aproximar de:
- Para
par: - Para
ímpar:
Passo 6
Percebemos que a sequência oscila entre valores próximos a 1 e 0 à medida que
cresce. Ou seja, ela não está se aproximando de um único número fixo, mas sim alternando entre dois valores.
Passo 7
Como a sequência não está se aproximando de um único número, mas sim alternando entre 1 e 0, ela não converge. Para uma sequência convergir, todos os termos devem se aproximar de um único limite, o que não está acontecendo aqui.
Resposta
Não, a sequência não converge.