A sequência
xn=12+(-1)^n(12-1n)
converge? Em caso afirmativo, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por:
xn= 12 + (-1)^n ( 12 - 1n )
A pergunta é: essa sequência converge? E se sim, qual é o seu limite? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e como calcular o limite dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Dizemos que uma sequência xn converge para um número L se, à medida que n cresce, os valores de xn ficam cada vez mais próximos de L. Ou seja, para qualquer erro pequeno que a gente escolher, existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos estão dentro desse erro de L.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nossa sequência:
xn= 12 + (-1)^n ( 12 - 1n )
Aqui, temos duas partes principais: a constante 12 e o termo (-1)^n ( 12 - 1n ). O (-1)^n faz com que esse termo alterne de sinal conforme n aumenta.

Passo 4

Vamos ver o que acontece com cada parte quando n cresce:
  1. 12: Essa parte é constante, não muda com n.
  2. (-1)^n ( 12 - 1n ): À medida que n aumenta, 1n diminui e se aproxima de zero. Então, 12 - 1n se aproxima de 12. Mas como tem o (-1)^n, esse termo vai ser aproximado por (-1)^n cdot 12.

Passo 5

Então, para valores grandes de n, a sequência fica aproximadamente:
xn approx 12 + (-1)^n cdot 12
Isso significa que, dependendo se n é par ou ímpar, xn vai se aproximar de:
  • Para n par: xn approx 12 + 12 = 1
  • Para n ímpar: xn approx 12 - 12 = 0

Passo 6

Percebemos que a sequência oscila entre valores próximos a 1 e 0 à medida que n cresce. Ou seja, ela não está se aproximando de um único número fixo, mas sim alternando entre dois valores.

Passo 7

Como a sequência não está se aproximando de um único número, mas sim alternando entre 1 e 0, ela não converge. Para uma sequência convergir, todos os termos devem se aproximar de um único limite, o que não está acontecendo aqui.

Resposta

Não, a sequência não converge.

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