Decida se a série converge ou diverge. Caso seja possível, encontre o valor da série.
sumn=1^infty n^2+7(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n^2+7(2n)!
e, se possível, calcular seu valor. Vamos usar o teste da razão para mostrar convergência absoluta e depois manipular somas conhecidas envolvendo séries de potências e funções hiperbólicas para obter a soma exata.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a an=(n^2+7)/(2n)!. Temos
an+1an =(n+1)^2+7(2n+2)!cdot(2n)!n^2+7 =(n+1)^2+7n^2+7,1(2n+2)(2n+1)
Quando ntoinfty, (n+1)^2+7n^2+7to1 e (2n+2)(2n+1)toinfty, logo a razão vai a 0<1. Assim, a série converge absolutamente.

Passo 3

Escrevemos a soma como duas séries mais simples:
sumn=1^inftyn^2+7(2n)! =sumn=1^inftyn^2(2n)! ;+;7sumn=1^infty1(2n)!
Chamemos
A=sumn=1^inftyn^2(2n)!, B=sumn=1^infty1(2n)!

Passo 4

A segunda soma B é bem conhecida:
sumk=0^infty1(2k)!=cosh(1),
então
B=sumn=1^infty1(2n)! =cosh(1)-1

Passo 5

Para calcular
A=sumn=1^inftyn^2(2n)!,
introduzimos a função geradora
f(x)=sumn=0^inftyx^n(2n)! =coshl(raizxr)
Dessa definição segue
x,f'(x)=sumn=1^inftyn,x^n(2n)!, xl(f'(x)+x,f''(x)r) =sumn=1^inftyn^2,x^n(2n)!
Portanto
A =sumn=1^inftyn^2(2n)! =l[f'(x)+x,f''(x)r]x=1

Passo 6

Calculamos f'(x) e f''(x) a partir de f(x)=cosh(raizx):
f'(x)=sinh(raizx)2raizx, f''(x)=-sinh(raizx)4,x^3/2 +cosh(raizx)4,x
Em x=1 isso dá
f'(1)=tfrac12sinh(1), f''(1)=-tfrac14sinh(1)+tfrac14cosh(1),
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A =f'(1)+f''(1) =tfrac12sinh(1)-tfrac14sinh(1)+tfrac14cosh(1) =tfrac14l(sinh(1)+cosh(1)r) =e4

Passo 7

Reunindo A e B:
sumn=1^inftyn^2+7(2n)! =A+7B =e4+7l(cosh(1)-1r)

Resposta

A série converge e seu valor é
e4+7l(cosh(1)-1r)

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