Decida se a série converge ou diverge. Caso seja possível, encontre o valor da série.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se possível, calcular seu valor. Vamos usar o teste da razão para mostrar convergência absoluta e depois manipular somas conhecidas envolvendo séries de potências e funções hiperbólicas para obter a soma exata.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão a
. Temos
Quando
,
e
, logo a razão vai a
. Assim, a série converge absolutamente.
Passo 3
Escrevemos a soma como duas séries mais simples:
Chamemos
Passo 4
A segunda soma
é bem conhecida:
então
Passo 5
Para calcular
introduzimos a função geradora
Dessa definição segue
Portanto
Passo 6
Calculamos
e
a partir de
:
Em
isso dá
logo
Passo 7
Reunindo
e
:
Resposta
A série converge e seu valor é