Decida se a série converge ou diverge. Caso seja possível, encontre o valor da série.
sumn=1^infty 2n^3-4

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty 2n^3-4
converge ou diverge, e, se possível, encontrar seu valor. O conteúdo envolvido é análise de convergência de séries infinitas e comparação assintótica (teste da série -p-).

Passo 2

Para testar convergência, observamos o comportamento assintótico de tfrac2n^3-4 quando ntoinfty. Note que
n^3-4sim n^3 Longrightarrow 2n^3-4sim2n^3
Como sum 2/n^3 é uma série p- com p=3>1, ela converge. Pelo teste da comparação limite, nossa série converge absolutamente.

Passo 3

Para obter uma soma fechada precisaríamos de um telescopamento ou fatoração simples de n^3-4, mas
n^3-4=(n-raiz[3]4)l(n^2+nraiz[3]4+(raiz[3]4)^2r)
envolve raízes cúbicas irracionais, sem forma de telescopar termos racionais. Logo, não há expressão elementar conhecida para
sumn=1^infty 2/(n^3-4).

Passo 4

Podemos, contudo, estimar numericamente o valor. Calculando a soma parcial até n=20, obtemos
S20=sumn=1^202n^3-4approx0,00087
O resto da série pode ser estimado por
sumn=21^infty 2n^3-4approxintegral20^infty2x^3,dx =[,-1x^2]20^infty =120^2=0,0025
Assim,
sumn=1^infty2n^3-4 approx S20+0,0025 approx0,00087+0,0025 approx0,00337

Resposta

A série converge absolutamente (teste de série p com p=3) e seu valor aproximado é
sumn=1^infty2n^3-4approx0,0034

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