Decida se a série converge ou diverge. Caso seja possível, encontre o valor da série.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge, e, se possível, encontrar seu valor. O conteúdo envolvido é análise de convergência de séries infinitas e comparação assintótica (teste da série -p-).
Passo 2
Para testar convergência, observamos o comportamento assintótico de
quando
. Note que
Como
é uma série
- com
, ela converge. Pelo teste da comparação limite, nossa série converge absolutamente.
Passo 3
Para obter uma soma fechada precisaríamos de um telescopamento ou fatoração simples de
, mas
envolve raízes cúbicas irracionais, sem forma de telescopar termos racionais. Logo, não há expressão elementar conhecida para
.
Passo 4
Podemos, contudo, estimar numericamente o valor. Calculando a soma parcial até
, obtemos
O resto da série pode ser estimado por
Assim,
Resposta
A série converge absolutamente (teste de série
com
) e seu valor aproximado é