(2 pontos)
Encontre a série de Maclaurin de f(x)=x^2(2 x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de
f(x)=x^2(2x-1)^2
O conteúdo envolvido é o desenvolvimento de 1/(1 - u)^2 em série de potências e reindexação do resultado. Vamos usar a fórmula conhecida
1(1 - u)^2 = sumn=0^infty(n+1)u^n, |u|<1,
e depois escolher u=2x e multiplicar por x^2.

Passo 2

Começamos reescrevendo o denominador de f como
(2x-1)^2 = l(-(1-2x)r)^2 = (1-2x)^2,
logo
f(x)=x^2(2x-1)^2 = x^2(1-2x)^2

Passo 3

Aplicando a fórmula
1(1 - u)^2 = sumn=0^infty(n+1)u^n
com u=2x (válido para |2x|<1, isto é |x|<1/2), obtemos
1(1 - 2x)^2 = sumn=0^infty(n+1)(2x)^n = sumn=0^infty(n+1)2^nx^n

Passo 4

Multiplicamos por x^2 para recuperar f(x):
f(x)=x^2,1(1 - 2x)^2 = x^2sumn=0^infty(n+1)2^nx^n = sumn=0^infty(n+1)2^nx^n+2

Passo 5

Reindexamos a soma definindo k=n+2. Quando n=0, k=2; e conforme ntoinfty, ktoinfty. Substituindo n=k-2 em (n+1)2^n e x^n+2
f(x)=sumk=2^infty(k-1),2^,k-2,x^k

Resposta

boxed x^2(2x-1)^2 = sumn=0^infty(n+1)2^nx^n+2 = sumk=2^infty(k-1)2^,k-2x^k, |x|<tfrac12

Exercícios relacionados