(2 pontos)
Determine o intervalo de convergência da série sumn=o^infty (-1)^n 2^n(2 x-1)^nraizn.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n2^n(2x-1)^nraizn
O conteúdo aqui é de séries de potências (em 2x-1) com fator 2^n e termo em 1/raizn. Para achar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Raiz para determinar o raio e depois verificar o comportamento nos extremos.

Passo 2

Aplicando o Teste da Raiz, calculemos
L=limsupntoinftyraiz[n]gl|(-1)^n2^n(2x-1)^nraizngr| =limntoinfty2,|2x-1|n^1/(2n) =2,|2x-1|
A série converge se L<1, ou seja, se
2,|2x-1|<1

Passo 3

Resolvendo a desigualdade
2,|2x-1|<1 Long<=ftrightarrow |2x-1|<tfrac12 Long<=ftrightarrow -tfrac12<2x-1<tfrac12 Long<=ftrightarrow tfrac14<x<tfrac34
Isso determina o intervalo aberto de convergência absoluta l(tfrac14,tfrac34r).

Passo 4

Testando o ponto x=tfrac14:
2x-1=2cdottfrac14-1=-tfrac12 Longrightarrow an=(-1)^n2^n(-tfrac12)^nraizn =1raizn
Como sum1/raizn diverge ( p=tfrac12<=1), a série diverge em x=tfrac14.

Passo 5

Testando o ponto x=tfrac34:
2x-1=2cdottfrac34-1=tfrac12 Longrightarrow an=(-1)^n2^n(tfrac12)^nraizn =(-1)^nraizn
Este é um série alternada com termos tfrac1raizn monótonos decrescentes a zero, logo converge condicionalmente (Teste de Leibniz).

Resposta

O intervalo de convergência da série é
boxedl(tfrac14,tfrac34r]

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