Decida se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{\sqrt{n^{6}+4 n^{2}+1}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{\sqrt{n^{6}+4\,n^{2}+1}}
é convergente ou divergente. Aqui vamos usar conhecimento sobre séries numéricas e, em especial, o teste do termo geral (ou teste da divergência).

Passo 2

Definimos o termo geral \displaystyle a_{n} = \frac{n^{3}+1}{\sqrt{n^{6}+4\,n^{2}+1}}.
Para ver o comportamento quando n\to\infty, fatoramos n^{3} no numerador e n^{6} sob a raiz do denominador:
a_{n} = \frac{n^{3}\bigl(1 + \tfrac{1}{n^{3}}\bigr)} {n^{3}\sqrt{1 + \tfrac{4}{n^{4}} + \tfrac{1}{n^{6}}}} = \frac{1 + \tfrac{1}{n^{3}}}{\sqrt{1 + \tfrac{4}{n^{4}} + \tfrac{1}{n^{6}}}}.
Logo, tomando limite,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0}} = 1.

Passo 3

O teste do termo geral diz que, se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0, então a série \sum a_{n} diverge. Como aqui \lim_{n\to\infty}a_{n}=1\neq 0, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados