Decida se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5 n}{n^{4}+n}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5\,n}{n^{4}+n}
é convergente ou divergente.
O conteúdo principal é teste de comparação com séries do tipo p-séries, e vamos usar o fato de que uma p-série \sum 1/n^p converge se, e só se, p>1.

Passo 2

Simplificamos o termo geral:
\frac{5\,n}{n^{4}+n} =\frac{5\,n}{n\,(n^{3}+1)} =\frac{5}{n^{3}+1}\,.

Passo 3

Para n\ge1 temos n^{3}+1\ge n^{3}, logo
0 \le \frac{5}{n^{3}+1}\le \frac{5}{n^{3}}.
Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{n^{3}} =5\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
é convergente, pois é uma p-série com p=3>1. Pelo teste da comparação, a série original converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5\,n}{n^{4}+n} é convergente.

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