Decida se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 3^{n}}{(n+1)!}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}3^{n}}{(n+1)!}
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de convergência para séries numéricas, em particular o teste da razão para verificar convergência absoluta e, se quiser, o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, isto é, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}3^{n}}{(n+1)!}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{(n+1)!}.
Aplicamos o teste da razão a a_n = 3^n/(n+1)!. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}/(n+2)!}{3^n/(n+1)!} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+2} = 0.
Como L<1, a série de termos positivos \sum a_n converge. Logo, a série dada converge absolutamente.

Passo 3

Convergência absoluta implica convergência simples. Portanto a série original também converge.

Resposta

A série converge (na verdade converge absolutamente).

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