(2 pontos)
Determine o intervalo de convergência da série
.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
Para isso vamos usar o Teste da Raiz (ou Cauchy–Hadamard) para determinar o raio de convergência e em seguida examinar os pontos finais
e
.
Passo 2
Aplicando o Teste da Raiz, consideramos
Então
logo o raio de convergência
satisfaz
, ou seja
. Portanto a série converge para
Passo 3
Em
temos
então a série vira
que é uma série
- com
. Como
diverge quando
, conclui-se que em
a série diverge.
Passo 4
Em
temos
, então a série fica
Aqui podemos usar o Teste de Leibniz (alternância):
- Os termos
são positivos, tendem a zero e decrescem quando cresce. - O sinal
alterna.
Logo a série alternada converge condicionalmente em.
Resposta
O intervalo de convergência é