(2 pontos)
Determine o intervalo de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}}.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=1:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(x-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}}.
Para isso vamos usar o Teste da Raiz (ou Cauchy–Hadamard) para determinar o raio de convergência e em seguida examinar os pontos finais x=0 e x=2.

Passo 2

Aplicando o Teste da Raiz, consideramos
a_n = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}} \quad\Longrightarrow\quad |a_n|=\frac{1}{n^{1/4}}.
Então
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty}n^{-1/(4n)} =1,
logo o raio de convergência R satisfaz \tfrac1R=1, ou seja R=1. Portanto a série converge para
|x-1|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<x<2.

Passo 3

Em x=0 temos
(x-1)^n = (-1)^n,
então a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(-1)^n}{n^{1/4}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/4}},
que é uma série p- com p=\tfrac14<1. Como \sum n^{-p} diverge quando p\le1, conclui-se que em x=0 a série diverge.

Passo 4

Em x=2 temos (x-1)^n=1^n=1, então a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{1/4}}.
Aqui podemos usar o Teste de Leibniz (alternância):
  1. Os termos b_n = n^{-1/4} são positivos, tendem a zero e decrescem quando n cresce.
  2. O sinal (-1)^n alterna.
    Logo a série alternada converge condicionalmente em x=2.

Resposta

O intervalo de convergência é
(0,2].

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