Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y "+y=u_{3 \pi}(t), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com forçamento descontínuo
y''+y = u_{3\pi}(t),
com condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O conteúdo é “equação diferencial linear com termo de Heaviside”. Vamos resolver em dois intervalos: antes de t=3\pi (onde o forçamento é zero) e depois de t=3\pi (onde o forçamento vale 1), impondo continuidade de y e y' em t=3\pi.

Passo 2

Para 0\le t<3\pi o forçamento é zero, então resolvemos a homogênea
y''+y=0.
A solução geral é
y_h(t)=A\cos t + B\sin t.
Aplicando y(0)=1 e y'(0)=0 obtemos
y(0)=A=1,\qquad y'(t)=-A\sin t + B\cos t\implies y'(0)=B=0.
Logo, para 0\le t<3\pi,
y_1(t)=\cos t.

Passo 3

Para t\ge3\pi o forçamento vira constante 1, então consideramos a solução geral da não homogênea
y''+y=1.
Um particular constante é y_p=1. A solução geral é
y_2(t)=1 + C\cos t + D\sin t.

Passo 4

Impondo continuidade de y e y' em t=3\pi:
y_2(3\pi)=y_1(3\pi),\qquad y_2'(3\pi)=y_1'(3\pi).
Como
y_1(3\pi)=\cos(3\pi)=-1,\qquad y_1'(3\pi)=-\sin(3\pi)=0,
temos
y_2(3\pi)=1 + C\cos(3\pi)=1 - C \;=\;-1,
y_2'(t)=-C\sin t + D\cos t\implies y_2'(3\pi)=-D=0.

Passo 5

Das duas equações acima segue
-D=0\implies D=0, \qquad 1-C=-1\implies C=2.
Portanto, para t\ge3\pi,
y_2(t)=1 + 2\cos t.

Passo 6

Podemos reunir as duas partes usando a função degrau:
y(t)= \begin{cases} \cos t, &0\le t<3\pi,\\\\ 1+2\cos t, &t\ge3\pi, \end{cases}
ou de forma única
y(t)=\cos t + u_{3\pi}(t)\bigl(1+\cos t\bigr).

Resposta

Para 0\le t<3\pi:
y(t)=\cos t.
Para t\ge3\pi:
y(t)=1+2\cos t.

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