Resolva os problemas de valor inicial abaixo: y "+y=u_{3 \pi}(t), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com forçamento descontínuo
y''+y = u_{3\pi}(t),
com condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O conteúdo é “equação diferencial linear com termo de Heaviside”. Vamos resolver em dois intervalos: antes de t=3\pi (onde o forçamento é zero) e depois de t=3\pi (onde o forçamento vale 1), impondo continuidade de y e y' em t=3\pi.
Passo 2
Para 0\le t<3\pi o forçamento é zero, então resolvemos a homogênea
y''+y=0.
A solução geral é
y_h(t)=A\cos t + B\sin t.
Aplicando y(0)=1 e y'(0)=0 obtemos
y(0)=A=1,\qquad y'(t)=-A\sin t + B\cos t\implies y'(0)=B=0.
Logo, para 0\le t<3\pi,
y_1(t)=\cos t.
Passo 3
Para t\ge3\pi o forçamento vira constante 1, então consideramos a solução geral da não homogênea
y''+y=1.
Um particular constante é y_p=1. A solução geral é