3 Decida se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}
é convergente ou divergente. (Justifique sua resposta.)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}
é convergente ou divergente. Isso envolve testes de convergência para séries de termos positivos; aqui vamos usar o Teste da Razão, que é bem direto.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{n^n}{n!}
e calculamos o limite da razão dos termos consecutivos:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^n} = \lim_{n\to\infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^{n} = e.

Passo 3

O Teste da Razão diz que se L>1, a série diverge; se L<1, ela converge; e se L=1, o teste não decide. Aqui L = e > 1, logo concluímos que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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