Questão. (3.5 pontos) Considere o campo vetorial
e o sólido
delimitado pela superfície
formada pelos planos
e
.
a) (2 ponto) Calcule o fluxo do campo F através da superfície
, ou seja,
b) (1.5 ponto) Calcule o fluxo do campo
através da superfície
, onde
a superfície
, exceto a face que está no plano
.
a) (2 ponto) Calcule o fluxo do campo F através da superfície
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e o sólido
limitado pelos planos
,
,
e
.
(a) Pede o fluxo de através da superfície fechada
.
(b) Pede o fluxo através de , que é
sem a face em
.
Vamos usar o Teorema da Divergência para (a) e, em (b), subtrair o fluxo na face .
(a) Pede o fluxo de
(b) Pede o fluxo através de
Vamos usar o Teorema da Divergência para (a) e, em (b), subtrair o fluxo na face
Passo 2
Aplicando o Teorema da Divergência,
onde
Passo 3
O sólido
é um tetraedro com interceptos
,
,
. Logo seu volume é
Assim o fluxo total é
Passo 4
Para obter o fluxo através de
, falta excluir a face
. Nessa face,
, o vetor normal externo é
e
Então
e a região na face é o triângulo
. Portanto
Passo 5
Como o fluxo total por
é
e o fluxo pela face
é
, o fluxo por
é
Resposta
(a)
(b)
(b)