{ }^{a} Questão. (3.5 pontos) Considere o campo vetorial
\mathbf{F}=\left(2 x+z, y+x,-x^{2}-3 y\right)
e o sólido E delimitado pela superfície S formada pelos planos x+y+2 z=6, x=0, y=0 e z=0.
a) (2 ponto) Calcule o fluxo do campo F através da superfície S, ou seja,
\iint_{S} \mathbf{F} d \mathbf{S}
b) (1.5 ponto) Calcule o fluxo do campo \mathbf{F} através da superfície S^{\prime}, onde S^{\prime} a superfície S, exceto a face que está no plano x=0.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(2x+z,\;y+x,\;-x^2-3y\bigr)
e o sólido E limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+2z=6.
(a) Pede o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada S=\partial E.
(b) Pede o fluxo através de S', que é S sem a face em x=0.
Vamos usar o Teorema da Divergência para (a) e, em (b), subtrair o fluxo na face x=0.

Passo 2

Aplicando o Teorema da Divergência,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} \;=\;\iiint_{E}\!\div\mathbf{F}\,dV,
onde
\div\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(2x+z) +\frac{\partial}{\partial y}(y+x) +\frac{\partial}{\partial z}(-x^2-3y) =2+1+0=3.

Passo 3

O sólido E é um tetraedro com interceptos x=6, y=6, z=3. Logo seu volume é
\operatorname{Vol}(E) =\frac{1}{6}\,(\,6\cdot6\cdot3\,)=18.
Assim o fluxo total é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{E}3\,dV =3\cdot18 =54.

Passo 4

Para obter o fluxo através de S', falta excluir a face x=0. Nessa face, x=0, o vetor normal externo é \mathbf{n}=(-1,0,0) e
\mathbf{F}(0,y,z)=(z,\;y,\;-3y).
Então
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =-z,
e a região na face é o triângulo 0\le z\le3,\;0\le y\le6-2z. Portanto
\text{Fluxo}_{x=0} =\iint_{R}(-z)\,dA =-\int_{z=0}^{3}\!\int_{y=0}^{6-2z}z\,dy\,dz =-\int_{0}^{3}\!z(6-2z)\,dz =-9.

Passo 5

Como o fluxo total por S é 54 e o fluxo pela face x=0 é -9, o fluxo por S' é
\iint_{S'}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =54 - (-9) =63.

Resposta

(a) 54
(b) 63

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