Questão.(3.5 pontos) Considere o campo vetorial
onde
.
i) (1 ponto) Calcule o valor de
para que o campo
seja conservativo.
ii) (1 ponto) Para o valor de
encontrado no item i), calcule o trabalho realizado pelo campo
ao longo do arco da parábola
de
a
.
iii) ( 1.5 ponto) Considerando
, Calcule
onde
é a curva formada pelo arco da parábola
de
a
e o segmento de reta de
de volta a
.
i) (1 ponto) Calcule o valor de
ii) (1 ponto) Para o valor de
iii) ( 1.5 ponto) Considerando
Passo 1
O enunciado apresenta o campo vetorial
onde
, e pede:
- achar
para que seja conservativo; - para esse
, calcular o trabalho de ao longo da parábola de a ; - usando
, avaliar o integral de linha fechado em que é o arco da parábola de a seguido do segmento de reta de volta.
Para resolver vamos usar o teste de campo conservativo, construir potencial quando existir e parametrizar cada trecho para integrar.
Passo 2
Chamando
temos
Igualando para conservatividade:
Para que isso valha para todo
basta escolher
, pois aí
.
Passo 3
Com
,
é conservativo e existe potencial
tal que
.
Integrando
Integrando
Então
Logo
O trabalho ao longo de qualquer curva de
a
é
Passo 4
Para
,
não é conservativo e calculamos
quebrando em
(a parábola) e
(o segmento).
Em
:
,
,
.
Então
Então
Em
:
,
,
.
Somando os dois trechos:
Resposta
i)
ii) trabalho
iii)
ii) trabalho
iii)