{ }^{\text {a }} Questão.(3.5 pontos) Considere o campo vetorial
F(x, y)=\left(2 x+y^{n}, 2 x y+3 y^{2}\right),
onde n \in \mathbb{R}.
i) (1 ponto) Calcule o valor de n para que o campo F seja conservativo.
ii) (1 ponto) Para o valor de n encontrado no item i), calcule o trabalho realizado pelo campo F ao longo do arco da parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1).
iii) ( 1.5 ponto) Considerando n=3, Calcule
\oint_{C} F \cdot d r
onde C é a curva formada pelo arco da parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1) e o segmento de reta de (1,1) de volta a (0,0).

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial
F(x,y)=\bigl(2x+y^n,\;2xy+3y^2\bigr),
onde n\in\mathbb{R}, e pede:
  1. achar n para que F seja conservativo;
  2. para esse n, calcular o trabalho de F ao longo da parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1);
  3. usando n=3, avaliar o integral de linha fechado \oint_C F\cdot dr em que C é o arco da parábola de (0,0) a (1,1) seguido do segmento de reta de volta.
    Para resolver vamos usar o teste de campo conservativo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, construir potencial quando existir e parametrizar cada trecho para integrar.

Passo 2

Chamando
P(x,y)=2x+y^n,\quad Q(x,y)=2xy+3y^2,
temos
\frac{\partial P}{\partial y}=n\,y^{\,n-1}, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2y.
Igualando para conservatividade:
n\,y^{\,n-1}=2y\quad\Longrightarrow\quad n\,y^{\,n-2}=2.
Para que isso valha para todo y\neq0 basta escolher n=2, pois aí n\,y^{n-2}=2\,y^0=2.

Passo 3

Com n=2, F é conservativo e existe potencial f tal que \nabla f=F.
Integrando
f_x=2x+y^2 \quad\Longrightarrow\quad f(x,y)=\int(2x+y^2)\,dx=x^2+xy^2+g(y).
Então
f_y=2xy+g'(y)\stackrel!=2xy+3y^2 \;\Longrightarrow\;g'(y)=3y^2\;\Longrightarrow\;g(y)=y^3.
Logo
f(x,y)=x^2+xy^2+y^3.
O trabalho ao longo de qualquer curva de (0,0) a (1,1) é
f(1,1)-f(0,0)=\bigl(1+1+1\bigr)-0=3.

Passo 4

Para n=3, F não é conservativo e calculamos
\oint_C F\cdot dr quebrando em C_1 (a parábola) e C_2 (o segmento).
Em C_1: r_1(t)=(t,t^2), 0\le t\le1, dr_1=(1,2t)\,dt.
Então
F(r_1(t))=\bigl(2t+t^6,\;2t^3+3t^4\bigr),
F\cdot dr_1=(2t+t^6)\cdot1+(2t^3+3t^4)\cdot2t =2t+4t^4+6t^5+t^6,
\int_{C_1}F\cdot dr =\int_0^1\bigl(2t+4t^4+6t^5+t^6\bigr)\,dt =1+\frac{4}{5}+1+\frac{1}{7} =\frac{103}{35}.
Em C_2: r_2(u)=(u,u), 1\ge u\ge0, dr_2=(1,1)\,du.
F(r_2(u))=\bigl(2u+u^3,\;2u^2+3u^2\bigr) =(2u+u^3,5u^2),
F\cdot dr_2=(2u+u^3)+(5u^2) =u^3+5u^2+2u,
\int_{C_2}F\cdot dr =\int_1^0\bigl(u^3+5u^2+2u\bigr)\,du =-\int_0^1\bigl(u^3+5u^2+2u\bigr)\,du =-\frac{35}{12}.
Somando os dois trechos:
\oint_CF\cdot dr =\frac{103}{35}-\frac{35}{12} =\frac{11}{420}.

Resposta

i) n=2
ii) trabalho =3
iii) \displaystyle\oint_CF\cdot dr=\frac{11}{420}

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