Decida se as séries abaixo convergem ou divergem:
sumn=0^infty n cdot e^-n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=0^inftyn,e^-n
converge ou diverge. O assunto aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular podemos usar o teste da razão ou reconhecer uma série de potências derivada de uma geométrica.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
an = n,e^-n
Para verificar convergência, vamos aplicar o teste da razão, que compara lvert an+1/anrvert.

Passo 3

Calculamos
an+1an = (n+1),e^-(n+1)n,e^-n = n+1n;e^-1 longrightarrow e^-1 quando ntoinfty
Como e^-1<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Passo 4

Opcionalmente, para quem quiser o valor da soma, note que a série a partir de n=1 é uma série de potências com x=e^-1 e conhecida soma
sumn=1^infty n,x^n = x(1-x)^2
Substituindo x=e^-1, obtemos
sumn=1^infty n,e^-n = e^-1l(1-e^-1r)^2

Resposta

A série sumn=0^inftyn,e^-n converge (absolutamente).

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