Decida para que valores reais de x a série sumn=1^infty (-1)^n-1(x-3)^n5^n n^5 converge. (Especifique o tipo de convergência e dê o raio de convergência).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para descobrir para quais valores reais de x a série
sumn=1^infty (-1)^n-1(x-3)^n5^n n^5
converge. Além disso, precisamos determinar o tipo de convergência e o raio de convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas, especialmente testes de convergência como o Teste da Raiz e da Razão, além de entender o que é o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que estamos analisando. A expressão geral da série é:
an = (-1)^n-1(x-3)^n5^n n^5
Observamos que a série é alternada devido ao termo (-1)^n-1. Para analisar a convergência, podemos começar verificando a convergência absoluta, ou seja, analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (x-3)^n5^n n^5 | = sumn=1^infty |x-3|^n5^n n^5

Passo 3

Agora, para determinar para quais valores de x essa série converge, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência R da série de potências. A fórmula do Teste da Raiz é:
1R = limn to infty raiz[n]|an|
Aplicando isso à nossa série:
raiz[n]|x-3|^n5^n n^5 = |x-3|5 cdot raiz[n]1n^5
Sabemos que limn to infty raiz[n]1n^5 = 1, então:
1R = |x-3|5 implies R = 5

Passo 4

Com o raio de convergência R = 5 , sabemos que a série converge absolutamente quando:
|x-3|5 < 1 implies |x-3| < 5
Isso significa que a série converge para valores de x no intervalo:
-2 < x < 8

Passo 5

Além disso, é importante verificar o comportamento nos pontos finais do intervalo, ou seja, em x = -2 e x = 8 .
  • Para x = -2 :
|x-3| = 5 implies |x-3|5 = 1
A série se torna:
sumn=1^infty (-1)^n-1n^5
Essa é uma série alternada com termos decrescentes que tendem a zero, então, pelo Teste da Série Alternada, a série converge condicionalmente.
  • Para x = 8 :
|x-3| = 5 implies |x-3|5 = 1
A série se torna:
sumn=1^infty (-1)^n-1n^5
Novamente, é uma série alternada que converge condicionalmente pelo mesmo motivo.

Resposta

A série converge para todos os números reais x no intervalo -2 < x < 8. Ela apresenta convergência absoluta dentro desse intervalo e convergência condicional nos pontos x = -2 e x = 8 . O raio de convergência da série é R = 5 .

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