Decida se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}-1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}-1}
converge ou diverge. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries, e vamos usar o Teste da Razão (ou, alternativamente, Comparação com série geométrica).

Passo 2

Aplicando o Teste da Razão, seja
a_n = \frac{2^{n}}{3^{n}-1}.
Calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{\,n+1}/\bigl(3^{\,n+1}-1\bigr)}{2^{n}/\bigl(3^{n}-1\bigr)} = \lim_{n\to\infty} 2 \,\frac{3^{n}-1}{3^{\,n+1}-1} = 2 \,\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Como L=\tfrac{2}{3}<1, o Teste da Razão garante que a série converge.

Resposta

A série converge.

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