Decida se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} \rightarrow

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}
converge ou diverge. Como os termos são positivos e há um fator exponencial no denominador, faz sentido usar o Teste da Razão para séries.

Passo 2

Definimos a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}} e calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\,(n+1)^{2}/2^{\,n+1}\,}{\,n^{2}/2^{\,n}\,} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{2}\frac{1}{2} =\frac{1}{2}.
Como L=\tfrac12<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge.

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