Decida se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{6}+5 n+2}{5 n^{6}-n^{4}+6 n^{3}+1}

Passo 1

A série em questão é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n,\quad a_n = \frac{n^{6} + 5n + 2}{5n^{6} - n^{4} + 6n^{3} + 1}.
O que precisamos decidir é se essa série converge ou diverge. Para isso, primeiro vamos analisar o comportamento do termo geral a_n quando n\to\infty, usando um teste de divergência (também conhecido como critério do termo geral).

Passo 2

Para estudar o limite de a_n quando n\to\infty, fatoramos n^6 no numerador e no denominador:
a_n = \frac{n^6\bigl(1 + 5n^{-5} + 2n^{-6}\bigr)}{n^6\bigl(5 - n^{-2} + 6n^{-3} + n^{-6}\bigr)} = \frac{1 + 5n^{-5} + 2n^{-6}}{5 - n^{-2} + 6n^{-3} + n^{-6}}.
Quando n\to\infty, os termos n^{-k} vão a zero, então
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1 + 0 + 0}{5 - 0 + 0 + 0} = \frac{1}{5}.

Passo 3

O teste de divergência diz que, se \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0, a série \sum a_n diverge. Aqui encontramos \lim_{n\to\infty} a_n = \tfrac{1}{5}\neq 0, logo a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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