Seja
.
(a) Quantas funçöes
passam pelo ponto
e satisfazem a EDO
?
(b) Mostre que todas essas soluções sìo crescentes no domínio.
(c) Determine todas as possiveis soluções.
(d) Encontre o maior valor possivel para $\alpha.
(a) Quantas funçöes
(b) Mostre que todas essas soluções sìo crescentes no domínio.
(c) Determine todas as possiveis soluções.
(d) Encontre o maior valor possivel para $\alpha.
Passo 1
O enunciado pede uma função
tal que
O conteúdo é EDO de primeira ordem com condição inicial. Vamos usar o teorema de existência e unicidade e depois resolver explicitamente a ODE por substituição.
Passo 2
A função
é de classe
em
. Pelo teorema de Picard–Lindelöf, existe exatamente uma solução que passa por
num intervalo em torno de
. Logo, a resposta de (a) é: existe uma única solução.
Passo 3
Da própria equação,
em todo ponto do domínio. Isso mostra que a solução é não decrescente, i.e., crescente (mesmo que atinja platôs de derivada zero isolados).
Passo 4
Para achar a forma explícita, defina
Então
Separamos variáveis:
e integramos:
Como
, temos
. Logo
Voltando a
:
Passo 5
A função
tem assíntotas verticais em
. Portanto o maior intervalo simétrico em torno de zero onde a solução está definida é
Assim, para cobrir
, precisamos
. O maior valor possível de
é
.
Resposta
(a) Existe uma única solução.
(b) Todas são crescentes, pois .
(c) A solução é
(b) Todas são crescentes, pois
(c) A solução é
restrita a
.
(d) O maior valor possível é .
(d) O maior valor possível é