Seja \alpha>0.
(a) Quantas funçöes y:(-\alpha, \alpha) \rightarrow \mathbb{R} passam pelo ponto (0,1) e satisfazem a EDO y^{\prime}=(x+y-1)^{2} ?
(b) Mostre que todas essas soluções sìo crescentes no domínio.
(c) Determine todas as possiveis soluções.
(d) Encontre o maior valor possivel para $\alpha.

Passo 1

O enunciado pede uma função y:(-\alpha,\alpha)\to\mathbb{R} tal que
y'=(x+y-1)^{2},\quad y(0)=1.
O conteúdo é EDO de primeira ordem com condição inicial. Vamos usar o teorema de existência e unicidade e depois resolver explicitamente a ODE por substituição.

Passo 2

A função f(x,y)=(x+y-1)^{2} é de classe C^{1} em \mathbb{R}^{2}. Pelo teorema de Picard–Lindelöf, existe exatamente uma solução que passa por (0,1) num intervalo em torno de x=0. Logo, a resposta de (a) é: existe uma única solução.

Passo 3

Da própria equação,
y'=(x+y-1)^{2}\ge 0
em todo ponto do domínio. Isso mostra que a solução é não decrescente, i.e., crescente (mesmo que atinja platôs de derivada zero isolados).

Passo 4

Para achar a forma explícita, defina
u=x+y-1.
Então
u' = 1 + y' = 1 + (x+y-1)^{2} = 1 + u^{2}.
Separamos variáveis:
\frac{du}{1+u^{2}} = dx
e integramos:
\arctan(u)=x + C.
Como u(0)=0+1-1=0, temos C=0. Logo
u=\tan(x).
Voltando a y:
y = u - x + 1 = \tan(x) - x + 1.

Passo 5

A função \tan(x) tem assíntotas verticais em x=\pm \tfrac{\pi}{2}. Portanto o maior intervalo simétrico em torno de zero onde a solução está definida é
\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Assim, para cobrir (-\alpha,\alpha), precisamos \alpha\le\tfrac{\pi}{2}. O maior valor possível de \alpha é \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

(a) Existe uma única solução.
(b) Todas são crescentes, pois y'=(x+y-1)^{2}\ge0.
(c) A solução é
y(x)=\tan(x)-x+1,
restrita a (-\alpha,\alpha)\subset\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).
(d) O maior valor possível é \alpha=\tfrac{\pi}{2}.

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