Suponha que em uma comunidade de 1000 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas, isto é, se
é o número de indivíduos infectados então
. Se for observado que, após 2 semanas, 50 pessoas estão infectadas, determine o número de pessoas infectadas em função do tempo e determine que acontece com
quando
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma população de tamanho
, em que
é o número de infectados no tempo
. A evolução segue a equação logística
com condição inicial
e observação
. Vamos achar primeiro a solução geral da equação logística e depois ajustar a constante
.
Passo 2
A equação logística
é separável. A solução padrão é
onde
é determinada por
. Como
, temos
Logo
Passo 3
Usamos a condição
para determinar
. Substituindo
:
Passo 4
Substituindo
em
:
Podemos reescrever
logo a forma mais limpa é
Passo 5
Para
, o termo
tende a zero (pois
), então
Isso quer dizer que, a longo prazo, toda a comunidade acaba infectada.
Resposta
A solução é
e
.