Suponha que em uma comunidade de 1000 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas, isto é, se P(t) é o número de indivíduos infectados então P^{\prime}(t)=k P(t)[1000-P(t)]. Se for observado que, após 2 semanas, 50 pessoas estão infectadas, determine o número de pessoas infectadas em função do tempo e determine que acontece com P(t) quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma população de tamanho N=1000, em que P(t) é o número de infectados no tempo t. A evolução segue a equação logística
P'(t)=k\,P(t)\bigl(N - P(t)\bigr)
com condição inicial P(0)=1 e observação P(2)=50. Vamos achar primeiro a solução geral da equação logística e depois ajustar a constante k.

Passo 2

A equação logística
P'(t)=k\,P(t)\bigl(N - P(t)\bigr)
é separável. A solução padrão é
P(t)=\frac{N}{1 + A\,e^{-kNt}},
onde A é determinada por P(0). Como P(0)=1, temos
1 = \frac{1000}{1 + A}\quad\Longrightarrow\quad 1 + A = 1000 \quad\Longrightarrow\quad A = 999.
Logo
P(t) = \frac{1000}{1 + 999\,e^{-1000\,k\,t}}.

Passo 3

Usamos a condição P(2)=50 para determinar k. Substituindo t=2:
50 = \frac{1000}{1 + 999\,e^{-1000\,k\cdot2}} \quad\Longrightarrow\quad 1 + 999\,e^{-2000\,k} = \frac{1000}{50} = 20
999\,e^{-2000\,k} = 19 \quad\Longrightarrow\quad e^{-2000\,k} = \frac{19}{999} \quad\Longrightarrow\quad -2000\,k = \ln\!\bigl(\tfrac{19}{999}\bigr)
k = \frac{\ln\!(999/19)}{2000}.

Passo 4

Substituindo k em P(t):
P(t) = \frac{1000}{1 + 999 \,\exp\!\bigl(-1000\,t\cdot\tfrac{\ln(999/19)}{2000}\bigr)} = \frac{1000}{1 + 999 \,e^{-\tfrac{t}{2}\,\ln(999/19)}}.
Podemos reescrever
e^{-\tfrac{t}{2}\,\ln(999/19)} = \bigl(e^{\ln(999/19)}\bigr)^{-t/2} = \Bigl(\tfrac{999}{19}\Bigr)^{-t/2} = \Bigl(\tfrac{19}{999}\Bigr)^{t/2},
logo a forma mais limpa é
P(t) = \frac{1000}{1 + 999\,\bigl(\tfrac{19}{999}\bigr)^{t/2}}.

Passo 5

Para t\to\infty, o termo \bigl(\tfrac{19}{999}\bigr)^{t/2} tende a zero (pois 19/999<1), então
\lim_{t\to\infty}P(t) = \frac{1000}{1 + 999\cdot 0} = 1000.
Isso quer dizer que, a longo prazo, toda a comunidade acaba infectada.

Resposta

A solução é
P(t) = \frac{1000}{1 + 999\,\exp\bigl(-\tfrac{t}{2}\,\ln(\tfrac{999}{19})\bigr)} \;=\; \frac{1000}{1 + 999\,\bigl(\tfrac{19}{999}\bigr)^{t/2}},
e \displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)=1000.

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