Encontre a série de Maclaurin e o raio de convergência associado da funçäo
f(x)=\frac{1}{(1-x)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=\frac{1}{(1-x)^{4}}
e o raio de convergência associado. Para isso, vamos usar o Teorema do Binômio Generalizado, que dá a expansão de (1+u)^\alpha em série de potências em u.

Passo 2

O Teorema do Binômio Generalizado afirma que, para \alpha\in\mathbb{R} e |u|<1,
(1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}\,u^{n},
onde
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.

Passo 3

No nosso caso, tomamos \alpha=-4 e u=-x, pois
f(x)=(1-x)^{-4}=(1+u)^{\alpha}\quad\text{com }u=-x,\\ \alpha=-4.
Logo
\frac{1}{(1-x)^{4}} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-4}{n}(-x)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-4}{n}(-1)^{n}x^{n}.

Passo 4

Basta agora simplificar o coeficiente:
\binom{-4}{n}(-1)^{n} =\frac{(-4)(-5)\cdots(-4-n+1)}{n!}\,(-1)^{n} =\frac{(4+n-1)(4+n-2)(4+n-3)}{3!\,n!}\,n! =\binom{n+3}{3}.
Portanto
\frac{1}{(1-x)^{4}} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+3}{3}\,x^{n}.

Passo 5

O raio de convergência vem da condição |u|<1 no binômio generalizado, isto é, |-x|<1, logo
|x|<1
e o raio de convergência é R=1.

Resposta

A série de Maclaurin é
\frac{1}{(1-x)^{4}} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+3}{3}\,x^{n} =1+4x+10x^{2}+20x^{3}+\cdots
e o raio de convergência é R=1.

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