Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular de y^prime prime+3 y^prime-10 y=6 e^4 x. Resposta: yp(x)=e^4 x / 3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial
y'' + 3y' - 10y = 6e^4x
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos aplicar a ideia de adivinhar um palpite para yp que tenha a mesma forma da parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, verificamos a equação característica da parte homogênea:
r^2 + 3r - 10 = 0
As raízes são r=2 e r=-5. Como 4 (que vem de e^4x) não é solução dessa equação, não há ressonância e podemos escolher o palpite
yp(x) = A e^4x,
onde A é a constante a determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = 4A e^4x, yp'' = 16A e^4x

Passo 4

Substituímos yp, yp' e yp'' na equação diferencial:
yp'' + 3yp' - 10yp = 16A e^4x + 3cdot(4A e^4x) - 10cdot(A e^4x) = (16A + 12A - 10A),e^4x = 18A,e^4x
Para que isso seja igual a 6e^4x, precisamos de
18A = 6 Longrightarrow A = 618 = 13

Passo 5

Logo, a solução particular que encontramos é
yp(x) = 13e^4x

Resposta

yp(x) = e^4x3

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