Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. No caso convergentes, decida se a série converge absolutamente ou condicionalmente:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}
e pede para decidir sua convergência e, em caso afirmativo, se é absoluta ou condicional. Para isso, vamos estudar a série de termos positivos
u_{n} = \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}
e aplicar o teste da razão.

Passo 2

Calculamos o quociente dos termos consecutivos de u_{n}:
\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{((n+1)!)^{2}}{(2n+2)!}} {\displaystyle\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}} = \frac{(n+1)^{2}}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{n+1}{2\,(2n+1)}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac14 < 1.
Pelo teste da razão, a série \sum u_{n} converge.

Passo 3

Como \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} converge e \bigl|(-1)^{n}u_{n}\bigr|=u_{n}, segue que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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