Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n}}{3^{2 n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n}}{3^{2n-1}}
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas, em particular séries geométricas, e para resolver precisamos reconhecer a forma geométrica do termo geral e aplicar o critério de convergência \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para evidenciar a razão geométrica. Temos
3^{2n-1}=3^{2n}/3=9^{n}/3,
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\frac{7^{n}}{3^{2n-1}} =\frac{7^{n}}{9^{n}/3} =3\;\Bigl(\frac{7}{9}\Bigr)^{n}.
Assim a série original vira
3\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{7}{9}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Reconhecemos \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} com r=\tfrac{7}{9}. Como \bigl|\tfrac{7}{9}\bigr|<1, a série geométrica converge. Portanto a série dada converge.

Resposta

A série é convergente.

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