Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3 n}}{\left(2+5 n^{3}\right)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3n}}{\bigl(2+5n^{3}\bigr)^{n}}
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries positivas, e vamos usar o teste da raiz n-ésima.

Passo 2

Seja
a_n = \frac{n^{3n}}{\bigl(2+5n^{3}\bigr)^{n}}.
Calculamos a raiz n-ésima de a_n:
\sqrt[n]{a_n} = \frac{n^{3}}{2+5n^{3}}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{3}}{2+5n^{3}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{5 + \frac{2}{n^{3}}} = \frac{1}{5}.

Passo 4

Como L = \tfrac{1}{5} < 1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, logo a série original é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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