Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{2}+1}
é convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, em particular o critério da série- p e o critério da comparação.

Passo 2

Para usar o critério da comparação direta, note que para todo n\ge1 vale
n^{2} \le n^{2}+1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{n^{2}+1} \le \frac{3}{n^{2}}.
Mas a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{2}}
é um múltiplo da série- p com p=2>1, que sabemos convergir. Logo, por comparação direta, a série dada também converge.

Passo 3

Como confirmação, aplicamos o critério da comparação limite entre
a_{n} = \frac{3}{n^{2}+1} \quad\text{e}\quad b_{n} = \frac{1}{n^{2}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3/(n^{2}+1)}{1/n^{2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}}{n^{2}+1} =3,
que é um número finito e não nulo. Como \sum b_{n} converge ( p=2>1), segue que \sum a_{n} também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{2}+1} é convergente, por comparação (direta ou limite) com a série- p de parâmetro p=2>1.

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