Estabeleça a convergência ou divergência das séries abaixo, especificando o critério utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n-1)}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n(n-1)}
converge ou diverge, especificando o critério usado. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos precisar de frações parciais e do efeito “telescópio” ou, alternativamente, de comparação assintótica com a série harmônica.

Passo 2

Note que, para n=1, o denominador n(n-1) fica 1\cdot0, o que não faz sentido. Por isso, interpretamos a soma como iniciando em n=2:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n+1}{n(n-1)}.

Passo 3

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{n+1}{n(n-1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n}.
Multiplicando por n(n-1)
n+1=A\,n + B\,(n-1)=(A+B)\,n - B.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B=1,\\\\ -\,B=1, \end{cases}
logo B=-1\] e \(A=2. Assim
\frac{n+1}{n(n-1)}=\frac{2}{n-1}-\frac{1}{n}.

Passo 4

Definimos a soma parcial S_N=\sum_{n=2}^{N}\bigl(\tfrac{2}{n-1}-\tfrac{1}{n}\bigr). Escrevendo termo a termo vemos o “telescópio”:
S_N =2\bigl(\tfrac1{1}+\tfrac1{2}+\cdots+\tfrac1{N-1}\bigr) -\bigl(\tfrac1{2}+\tfrac1{3}+\cdots+\tfrac1{N}\bigr).
Reagrupando,
S_N =2\sum_{k=1}^{N-1}\frac1{k} -\Bigl(\sum_{k=1}^{N}\frac1{k}-1\Bigr) =2H_{N-1}-\bigl(H_N-1\bigr),
onde H_n é o n-ésimo número harmônico.

Passo 5

Sabemos que H_n\to\infty quando n\to\infty. Logo S_N\approx H_{N-1} também diverge para +\infty. Portanto a série diverge. O critério usado foi a decomposição em frações parciais (série telescópica) ou, alternativamente, a comparação assintótica com a harmônica \sum1/n.

Resposta

A série diverge (critério: frações parciais / telescópio).

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