Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \sin ^{3}\left(\frac{1}{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sin^{3}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
é convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries de termos positivos e o comportamento assintótico de \sin(x) quando x\to0.

Passo 2

Para n grande temos \tfrac{1}{n}\to0, e sabemos que
\sin(x)\sim x\quad\text{quando }x\to0.
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\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\sim \tfrac{1}{n} \quad\Longrightarrow\quad \sin^{3}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\sim \tfrac{1}{n^{3}}.
Isto sugere comparar com a série \sum 1/n^{3}, que é convergente (série p- com p=3>1).

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite entre
a_{n}=\sin^{3}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) \quad\text{e}\quad b_{n}=\tfrac{1}{n^{3}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{\sin^{3}(1/n)}{(1/n)^{3}} =\bigl(\lim_{x\to0}\tfrac{\sin(x)}{x}\bigr)^{3} =1^{3}=1.
Como \sum b_{n} converge e o limite é finito e não nulo, conclui-se que \sum a_{n} também converge.

Passo 4

Alternativamente, pelo teste de comparação direta, para todo n\ge1 temos 0<\sin(1/n)<1/n, então
0<\sin^{3}(1/n)<\frac{1}{n^{3}},
e como \sum1/n^{3} converge, segue que \sum\sin^{3}(1/n) converge por comparação.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin^{3}\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) é convergente (teste da comparação com a série p-com p=3).

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