Estabeleça a convergência ou divergência das séries abaixo, especificando o critério utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+3)^{n}}{n^{2 n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+3)^{n}}{n^{2n}}
converge ou diverge, especificando o critério usado. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o critério da raiz.

Passo 2

No critério da raiz, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|}
onde a_{n}=\frac{(2n+3)^{n}}{n^{2n}}. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculamos a raiz enésima de \lvert a_{n}\rvert:
\sqrt[n]{\frac{(2n+3)^{n}}{n^{2n}}} \;=\; \frac{2n+3}{n^{2}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L =\lim_{n\to\infty} \frac{2n+3}{n^{2}} =\lim_{n\to\infty} \frac{2 + 3/n}{n} =\;0.

Passo 4

Como L=0<1, pelo critério da raiz a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo critério da raiz.

Exercícios relacionados