Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{n}+3^{n}\right)^{\frac{1}{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(2^{n}+3^{n}\bigr)^{\frac{1}{n}}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular o teste da divergência, que diz que, se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \bigl(2^{n}+3^{n}\bigr)^{\frac{1}{n}}.
Para verificar \lim_{n\to\infty}a_{n}, fatoramos 3^{n}:
a_{n} = 3\;\bigl(1+(2/3)^{n}\bigr)^{\frac{1}{n}}.
Como \displaystyle(2/3)^{n}\to0, usamos o fato de que \lim_{n\to\infty}(1+x_{n})^{1/n}=1 sempre que x_{n}\to0. Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} =3\cdot1 =3.

Passo 3

O critério da divergência diz que, se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0, então \sum a_{n} diverge. Como aqui
\lim_{n\to\infty}a_{n}=3\neq0,
concluímos que a série não converge.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência, pois o termo geral tende a 3\neq0.

Exercícios relacionados