Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3 n}}{3^{2 n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3n}}{3^{2n}}
é convergente ou divergente, citando o critério de convergência apropriado.

Passo 2

Note que
2^{3n} = (2^3)^n = 8^n \quad\text{e}\quad 3^{2n} = (3^2)^n = 9^n,
portanto o termo geral da série pode ser escrito como
\frac{2^{3n}}{3^{2n}} = \left(\frac{8}{9}\right)^n.

Passo 3

Reconhecemos uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^n, com razão r = \tfrac{8}{9}. Pelo critério da série geométrica, a série converge se, e somente se,
|r| < 1.
Aqui |r| = \tfrac{8}{9} < 1, logo a série converge.

Resposta

A série é convergente, pelo critério da série geométrica (razão \tfrac{8}{9} com |\tfrac{8}{9}|<1).

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