Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^{2}+1}.
O conteúdo principal é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o Critério da Comparação (ou Comparação Limite) com uma série p-série.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1,
0<\arctan n<\frac{\pi}{2}.
Logo
0<\frac{\arctan n}{n^{2}+1}<\frac{\pi/2}{n^{2}+1}.

Passo 3

Como n^{2}+1>n^{2}, temos
\frac{\pi/2}{n^{2}+1}<\frac{\pi/2}{n^{2}}.
Portanto
0<\frac{\arctan n}{n^{2}+1}<\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{n^{2}}.

Passo 4

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é uma p-série com p=2>1, portanto é convergente. Pelo Critério da Comparação, dado que
0\le\frac{\arctan n}{n^{2}+1}\le \frac{\pi/2}{n^{2}}
e a série do termo à direita converge, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^{2}+1} é convergente, por Comparação com a p-série \sum1/n^{2}.

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