Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} e^{2 n}\left(\frac{2 n-1}{n+13}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} e^{2n}\Bigl(\frac{2n-1}{n+13}\Bigr)^{n}
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é critérios de convergência de séries, em particular usaremos o Critério da Raiz (Cauchy).

Passo 2

Seja
a_{n} = e^{2n}\Bigl(\frac{2n-1}{n+13}\Bigr)^{n}.
Pelo Critério da Raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \lim_{n\to\infty} \Bigl(e^{2n}\Bigr)^{1/n} \cdot \lim_{n\to\infty} \Bigl(\frac{2n-1}{n+13}\Bigr) = e^{2}\;\cdot\;2 = 2e^{2}.

Passo 3

Como L = 2e^{2} > 1, o Critério da Raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Critério da Raiz de Cauchy.

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