Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{\frac{1}{n}}
Usaremos o teste do termo geral (condição necessária para convergência de séries) e, se necessário, o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
a_{n}=(-1)^{n+1}b_{n} \quad\text{com}\quad b_{n}=\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{\frac{1}{n}}.

Passo 3

Para qualquer série convergente é obrigatório que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Calculamos primeiro
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{\frac{1}{n}} =\exp\Bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}\ln\!\tfrac{2}{5}\Bigr) =\exp(0) =1.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}b_{n}=1, segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}b_{n}
não existe como zero (os módulos tendem a 1, não a 0). Logo a série falha na condição necessária \lim a_{n}=0.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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